Cara menghitung digit terakhir $122^{122}$? [duplikat]
Saya mencoba menggunakan $$122^{122} = 2^{122} (\mod 10)$$
Tapi saya menggunakan MATLAB itu $122^{122}=2 (\mod 10)$ dan $2^{122}=4 (\mod 10)$. Mengapa mereka tidak sama? Tangkapan layarnya adalah sebagai berikut:
Jawaban
Saya tidak lagi memiliki akses ke Matlab jadi saya tidak dapat mereproduksi kesalahan ini persis di pihak saya. Kesalahan serupa diamati ketika saya menggunakan Oktaf online :
octave:2> mod(122^122, 10)
ans = 0
Anda harus menggunakan fungsi seperti powermod . Triknya adalah kita tidak mau menghitung$122^{122}$ secara eksplisit.
Perhatikan itu $122^{122}$adalah angka yang sangat besar dan bekerja dalam titik apung presisi ganda yang melebihi flintmax . Di atas nilai ini, format presisi ganda tidak memiliki presisi bilangan bulat, dan tidak semua bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan tepat.
Jawabannya memang benar $4$.
Berikut adalah hasil Python:
>>> 122**122 % 10 # cool, it can be computed
4
>>> pow(122, 122, 10) # preferred.
4
Anda dapat menggunakan teorema sisa bahasa Mandarin. Sejak$2$ dan $10$ tidak relatif prima, Euler tidak langsung berlaku.
$10=2\cdot5$, dan $2^{122}\equiv0\bmod2$. Kita mendapatkan$\varphi (5)=4\implies2^{122}\equiv2^2\equiv4\bmod5$, dan jawabannya adalah $4$.
$122^{122} \equiv 2^{122} (\text{mod $10$})$
Sebagai, $2^5\equiv 2 (\text{mod $10$})$ $\implies 2^{120}\equiv 2^{24} \equiv 2^{4} (\text{mod $10$})$ $\implies 2^{122} \equiv 2^{6} \equiv 4 (\text{mod $10$})$
Lihatlah masalah umum menemukan digit terakhir $n^m$.
Mengambil $n=10N+h$ dimana $0\le h\le9$ dan $m=4M+k$ dimana $0\le k\le3$.
Kekuatan angka memiliki periode $4$ modulo $10$ cara berikut: $$1\to1\to1\to1\\2\to4\to8\to6\\3\to9\to7\to1\\4\to6\to4\to6\\5\to5\to5\to5\\6\to6\to6\to6\\7\to9\to3\to1\\8\to4\to2\to6\\9\to1\to9\to1$$
Contoh: $797^{723}=(10N+7)^{4\cdot180+3}\equiv7^3\pmod{10}=3\pmod{10}$.
Terapkan ini untuk menemukan jawaban atas masalah Anda.
Sebenarnya, $ 122^{122} mod 10 = 4$. Mereka sama.