Definisi ruang produk bernorma dan dalam

Question

Saya membaca beberapa halaman Wikipedia tentang ruang Vektor Berbentuk dan ruang hasil kali dalam dan, dalam definisi, mereka selalu membicarakan tentang ruang vektor$\Bbb R$ atau $\Bbb C$.

Apakah ini karena sebagian besar ruang hasil kali normal dan bernorma yang berguna sudah berakhir $\Bbb R$ atau $\Bbb C$ atau apakah ruang tersebut hanya ditentukan untuk ruang vektor di atas bidang spesifik tersebut?

Sunting: Setelah memperdebatkan topik ini di komentar posting ini saya ingin mengubah pertanyaan saya:

Membiarkan $V$ menjadi ruang vektor di atas bidang $\mathbb F$. Kondisi apa yang seharusnya$\Bbb F$ verifikasi jika kita mau $V$untuk bisa menjadi ruang hasilkali dalam? Bagaimana dengan ruang vektor bernorma?

Answer 1

Saya percaya ini berfungsi pada bidang normed apa pun (setidaknya ruang bernorma, untuk ruang hasil kali dalam, saya tidak yakin, karena Anda memerlukan beberapa generalisasi untuk konjugasi kompleks). Bidang bernorma$k$ adalah bidang yang dilengkapi dengan norma $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ seperti yang

• $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
• $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
• $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$

Jika bidang Anda $k$ memiliki penilaian tersendiri $\nu$ bahwa Anda dapat membangun norma dengan mendefinisikan $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ untuk setiap hal positif $a$...

Bagaimanapun, saya yakin Bourbaki akan memberi Anda definisi paling umum.

Dan jika Anda ingin bersantai dengan kondisi yang dipetakan oleh norma $\mathbb{R}_{\ge0}$, Saya pikir ada juga cara untuk melakukan itu, dan memetakannya ke semacam semiring yang dipesan total ...