Di manakah kesalahan dalam “bukti” bahwa 3 = 0? [duplikat]
Saya melihat video ini (tautan di bawah), dengan "bukti" yang seharusnya$3=0$. Ini berjalan sebagai berikut:
Membiarkan $x$ menjadi solusi dari $$x^2+x+1=0 \tag1$$
Sejak $x\neq0$, kita dapat membagi kedua sisi dengan $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
Dari $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
Pengganti $x+1=-x^2$ ke $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ Pengganti $x=1$ ke $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
Penjelasan yang diberikan dalam video tersebut adalah
Mengganti $x+1=-x^2$ ke $(2)$ menciptakan solusi asing $x=1$ yang bukan merupakan solusi dari persamaan asli $(1)$, $x^2+x+1=0$.
Persamaan$(1)$ dan $(2)$ punya solusi $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, tetapi setelah substitusi, persamaan $(3)$ memiliki dua solusi ini dan $1$.
Pada dasarnya, ini mengatakan bahwa masalahnya adalah substitusi $x+1=-x^2$, tapi saya tidak yakin apakah ini masalahnya. Bagaimana substitusi dapat menyebabkan masalah jika segala sesuatu sebelum substitusi benar?
Setelah membaca komentar, saya menyadari banyak dari mereka mengatakan bahwa masalah sebenarnya adalah $(4)$, karena $1=x^3$ bisa juga berarti itu $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. Tidak mempertimbangkan solusi ini adalah masalah dengan "bukti". Seseorang juga perlu memeriksa solusi ini sebelum membuat kesimpulan, dan "memilih" mana yang benar.
Jadi, pertanyaan saya adalah, apa masalah dengan "bukti" di atas itu $3=0$?
Video: "Buktikan" 3 = 0. Bisakah Anda Menemukan Kesalahannya? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
Jawaban
Masalahnya adalah $x^3=1$ tidak menyiratkan itu $x=1$. Persamaannya$x^3-1=0$ memiliki tiga kemungkinan akar dan akar $x=1$ adalah root tambahan yang dihasilkan.
Mengganti anggota persamaan ke dalam dirinya sendiri dapat memperkenalkan solusi alien.
Misalnya $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
Anda bisa melakukannya, asalkan Anda juga menyimpan persamaan awalnya.
Operasi yang aman adalah:
menambahkan istilah untuk kedua anggota;
mengalikan kedua anggota dengan faktor bukan nol;
menerapkan transformasi yang dapat dibalik untuk kedua anggota.
Hal lainnya (misalnya menguadratkan kedua anggota) harus dilakukan dengan hati-hati.
Pergantian dapat menyebabkan akar asing karena ini merupakan langkah yang tidak dapat diubah. Artinya, jelas bahwa jika$x^2 + x + 1 = 0$, maka kita punya $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, dan dengan substitusi, $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ Namun, hal sebaliknya tidak benar: jika $-x^2 + 1/x = 0$, maka tidak selalu demikian $-x^2 = x+1$, dari situ akan mengikuti itu $x^2 + x + 1 = 0$.
Memang kami melihat bahwa ini adalah bagaimana solusinya $x = 1$ cocok: itu memuaskan $-x^2 + 1/x = 0$, tapi tidak $-x^2 = x+1$.
Perspektif lain: substitusi dapat diringkas dengan perkalian berikut: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ Mengalikan $x^2 + x + 1$ oleh faktor lain memberikan polinomial akar lain.
Membiarkan $x\ne0$. Kemudian
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$adalah benar. Tapi
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$tidak* ! Konsekuensi logisnya hanya dari kiri ke kanan.
Seperti yang ditunjukkan di plot, kurva $-x^2$ dan $-\dfrac1x$ berpotongan, tapi tidak dengan $x+1$. Dengan menyamakan dua RHS di atas, Anda kehilangan informasi dan memperkenalkan non-solusi.
* Jika Anda memikirkannya, itu akan seperti mengatakan
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ Masa bodo $c$.