IDTFT konvolusi dalam domain frekuensi

Question

Saya sudah mencoba segalanya. Jika Anda benar-benar tahu cara mengatasinya, bisakah Anda memberikan petunjuk?

$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$

Idealnya saya ingin mencari Fourier dari setiap "pecahan" secara terpisah dan kemudian menggunakan properti: $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ jadi saya tidak keberatan $$ e^{-2j\Omega}$$ tapi saya punya 2 masalah:

1. Saya tidak bisa menggunakan $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ untuk $(n+1/2) = 10/2$ karena $n \in Z$
2. Dalam DTFT, dalam buku saya tidak ada properti seperti dalam waktu berkelanjutan untuk mengubah konvolusi $\Omega$ domain menjadi perkalian dalam domain waktu jadi saya tidak tahu apa yang harus di sini juga.

update:
Setelah beberapa komentar dan bantuan dari orang-orang yang menjawab: Saya akan mencoba melakukannya sebagai juch$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$

Saya memanfaatkan properti: $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
Hasilnya adalah :
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ ( kupikir)

dan $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ untuk $n \in [0,9]$dan 0 di tempat lain.
Sekarang kita perlu menghitung konvolusi dari 2 tersebut:
hasilnya harus bukan nol hanya jika$n \in [0,9]$ begitu:
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$

Answer 1

Bagi saya, latihan ini dimaksudkan untuk menggabungkan properti dasar DTFT (dikumpulkan di sini: Tabel Properti DTFT ). Matt menjelaskan produk / sifat konvolusi. Anda juga mendapatkan modulasi time-shift / complex. Saya menduga (mengira saya tidak melakukan perhitungan) bahwa masalah dengan faktor tersebut$10$ dapat ditangani dengan perubahan variabel: $10\Omega = 5\times (2\Omega)$, dan penggunaan properti penskalaan waktu (perluasan) (lihat Penskalaan waktu dari urutan waktu-diskrit dan DTFT ):

$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$

Petunjuk lain bergantung pada kernel Dirichlet :

$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$

Mereka juga disebut asinc atau psinc ( alias atau sinus kardinal periodik atau sinc), dan terkait dengan jendela diskrit pendukung hingga. Jika$*$ adalah tanda Konvolusi, resolusi dapat menggunakan sifat produk / konvolusi dari Fourier.

Dan lebih umum (di bagian bawah halaman pada kernel Dirichlet ), Anda memiliki identitas:

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$

yang berhubungan dengan DTFT dari jendela waktu diskrit $w_{[0,N-1]}$ (dari indeks $n=0$ untuk $n=N-1$) terhadap rasio sinus dengan istilah koreksi fase. Anda dapat memeriksa detailnya di Transformasi Fourier waktu-diskrit dari fungsi jendela .

Answer 2

Juga dalam waktu terpisah kami memiliki korespondensi antara perkalian dalam satu domain dan konvolusi di domain lain:

$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$

di mana konvolusi dalam domain frekuensi ditentukan oleh

$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$

DTFT

$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$

sesuai dengan urutan domain waktu yang sangat sederhana. Saya yakin Anda bisa mengambilnya dari sini.