Jika setiap fungsi bernilai riil berkelanjutan didefinisikan pada $K$ dibatasi, lalu $K$ kompak

Aug 15 2020

Saya mencoba menjawab pertanyaan berikut dari bagian analisis nyata :

  1. Membiarkan $K$ menjadi bagian tidak kosong dari $\mathbb R^n$ dimana $n > 1$. Manakah dari pernyataan berikut yang harus benar?

(I) Jika $K$ kompak, maka setiap fungsi bernilai riil berkelanjutan ditentukan $K$ terikat.

(II) Jika setiap fungsi bernilai riil berkelanjutan didefinisikan pada $K$ dibatasi, lalu $K$ kompak.

(III) Jika $K$ kompak, lalu $K$ terhubung.

Bukti untuk (I) adalah standar. Saya mencoba melihat (II) dengan kontradiksi.

Apakah mungkin untuk membingkai bukti untuk (II) seperti ini:

Seharusnya $K \subseteq \mathbb R^n$tidak kompak. Lalu ada penutup terbuka$\mathcal C$yang tidak memiliki subcover yang terbatas. Tapi$f: K \to \mathbb R$terus menerus. (...) Kontradiksi.

Jawaban

4 Mark Aug 15 2020 at 22:07

Bagian dari $\mathbb{R^n}$kompak jika dan hanya jika ditutup dan dibatasi, ini adalah hasil standar. Sekarang, anggaplah setiap fungsi nilai riil kontinu didefinisikan pada$K$terikat. Secara khusus, fungsinya$f(x)=||x||$ dibatasi $K$, karenanya $K$ adalah himpunan terbatas.

Jadi kita hanya perlu membuktikan $K$ditutup. Yah, anggap saja tidak. Lalu ada beberapa poin$y\in\overline{K}\setminus K$. Menetapkan$f:K\to\mathbb{R}$ oleh $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Ini adalah fungsi berkelanjutan yang tidak dibatasi, sebuah kontradiksi.

UmeshShankar Aug 15 2020 at 22:32

Saya hanya ingin menambahkan bahwa jika rentangnya adalah real yang diberkahi dengan metrik yang dibatasi, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, maka pernyataan tersebut tidak benar untuk ruang metrik bahkan jika $Dom(f)$ puas dengan properti Heine-Borel.