Kemungkinan lulus ujian dengan dua skema penilaian yang berbeda
Saya berdiskusi dengan seorang rekan tentang kemungkinan lulus ujian dengan dua skema penilaian yang berbeda dan saya tidak yakin saya percaya apa yang dikatakan rekan saya.
Mereka menyatakan bahwa diberikan ujian dengan 10 pertanyaan dimana nilai kelulusan adalah 5 pertanyaan benar dan ujian dengan 6 pertanyaan dimana nilai kelulusan adalah 3 pertanyaan, akan lebih baik untuk mengambil ujian dengan 10 pertanyaan karena ada kemungkinan kelulusan yang meningkat . Saya tidak membeli argumen tersebut karena tampaknya ujiannya setara, yaitu, Anda juga perlu 50% untuk lulus. Namun rekan saya bersikeras tentang maksud mereka. Adakah yang bisa menjelaskan ini?
Jawaban
Benar atau salahnya pernyataan rekan Anda bergantung pada kemungkinan keberhasilan menjawab setiap pertanyaan dengan benar.
Jika Anda berasumsi bahwa pengujian adalah sekumpulan $2N$ pertanyaan benar / salah, dengan N jawaban yang benar diperlukan untuk lulus, di mana probabilitas Anda untuk menjawab pertanyaan apa pun adalah $p$, lalu probabilitasnya $P$ lulus ujian adalah seperti itu:
untuk $p<0.5$, $P$ jatuh secara monoton dengan meningkatnya N dan dalam batas $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0$, jadi sebaiknya pilih tes dengan jumlah pertanyaan paling sedikit.
untuk $p=0.5$ probabilitas lulus masih turun dengan meningkatnya N (tapi sekarang asimtot menjadi 0,5), $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0.5$, jadi tetap pilih tes dengan jumlah pertanyaan paling sedikit.
untuk $0.5<p<2/3$ probabilitas lulus awalnya turun dengan meningkatnya N, tetapi kemudian meningkat dengan N yang lebih besar dan dalam batas $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$, jadi pilihan Anda akan bergantung pada jumlah maksimum pertanyaan. Misalnya, jika$p=0.51$ lalu mengikuti tes dengan $N\simeq570$ pertanyaan sedikit lebih baik daripada duduk dalam ujian $N=2$ pertanyaan.
untuk $p>2/3$ probabilitas passing meningkat secara monoton dengan meningkatnya N, dan dalam batasnya $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$, jadi Anda harus selalu memilih tes dengan pertanyaan terbanyak.
Dalam contoh Anda, memilih 6 pertanyaan atau tes 10 pertanyaan, probabilitas keberhasilan Anda akan kira-kira sama jika $p\simeq0.564$ (dalam hal itu $P\simeq0.7674$), sebaiknya lakukan uji 6 pertanyaan jika $p<0.564$, tetapi Anda harus memilih tes 10 pertanyaan jika $p>0.564$.
Teman Anda salah, dengan asumsi Anda membalik koin untuk menentukan apakah Anda benar atau salah. Anda berdua lupa bahwa skor 0 itu mungkin, yang berarti peluang untuk lulus juga tidak 50%.
Pada tes dengan 10 pertanyaan, 6 dari 11 kemungkinan skor lulus. Pada tes 6 soal, skor 4/7 lolos. Jika Anda melempar koin, maka kemungkinan lulus adalah
$$ \frac{1}{2^6}\sum_0^3 {6 \choose k} $$ atau $$ \frac{1}{2^{10}}\sum_0^6 {10 \choose k} $$
Untuk tes enam dan 10 pertanyaan masing-masing. Itu 65% untuk tes 6 pertanyaan, dan 62% untuk tes 10 pertanyaan.
Lebih baik mengikuti ujian 6 pertanyaan jika Anda benar-benar berpikir setiap pertanyaan adalah lemparan koin, apakah Anda benar.
Jawaban: itu tergantung, tetapi untuk tes benar / salah, rekan Anda salah.
Mendapatkan 5 benar dan 5 salah adalah cara memesan RRRRRWWWWW dimana R benar dan W salah. Ada$\binom{10}{5} = 252$cara. Demikian pula untuk 6 kanan, 7 kanan, dll.
Ini adalah $\sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}$, yang sama $638$. Membagi dengan$2^{10}$ membuat kami kira-kira. $0.623$.
Sekarang, mendapatkan 3 benar dan 3 salah adalah memesan RRRWWW. Kami ingin mencari$\sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i}$, yang keluar menjadi $42$. Membagi dengan$2^6$ membuat kami kira-kira. $0.652$.
$0.623 < 0.652$, jadi rekan Anda salah.