Keraguan dalam perhitungan probabilitas.

Question

X dan Y adalah dua pemain catur:

• Kemungkinan X memenangkan permainan tertentu melawan Y adalah $1/3$ dan kemungkinan Y memenangkan permainan tersebut $2/3$.
• Mereka memainkan serangkaian permainan yang aturannya adalah X memenangkan dua pertandingan berturut-turut, kemudian X memenangkan seri dan Y memenangkan seri tersebut jika menang. $4$ game berturut-turut.
• Mereka memulai permainan dan bermain sampai salah satu dari mereka memenangkan seri.

Mengikuti aturan ini, berapakah probabilitas Y memenangkan seri?.

Saya menghitung probabilitas dengan mempertimbangkan $4/5/6$ total game secara individual tetapi tidak dapat menemukan pola apa pun sehingga saya dapat menjumlahkannya $n$ jumlah permainan dan kecenderungan $n$ hingga tak terbatas$\ldots$ itulah pendekatan dasar saya dalam masalah seperti itu tetapi tidak bisa dilakukan di sini$\ldots$

Answer 1

Negara bagian nonterminal adalah $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$, dimana namanya $w$mengungkapkan kemenangan relevan terakhir. Untuk masing-masing negara bagian ini$w$ kami memiliki kemungkinan $p_w$ bahwa $Y$memenangkan seri . Untuk probabilitas ini kami memiliki persamaan berikut:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ Misal, saat kita sedang dalam keadaan $YY$, pemain $Y$memenangkan seri dengan probabilitas$p_{YY}$. Di pertandingan berikutnya$Y$ menang dengan probabilitas ${2\over3}$ dan kami kemudian di negara bagian $YYY$, dan $Y$ kalah dengan probabilitas ${1\over3}$, dan kami kemudian di negara bagian $X$. Dengan cara ini kita mendapatkan persamaannya$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.

Memecahkan sistem ini memberikan probabilitas awal $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$