Keraguan terkait dengan bukti teorema tentang dimensi serat.

Aug 16 2020
  1. $f:X \rightarrow Y$ menjadi morfisme varietas sedemikian rupa untuk masing-masing $p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. Kemudian$\dim X=\dim Y+n$. Dalam pembuktian teorema ini jika saya ganti$X$Dengan set terbuka affine mengapa dimensi seratnya sama. Tolong jelaskan.
  2. $f:X \rightarrow Y$ menjadi morfisme varietas affine sedemikian rupa untuk masing-masing $p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$ untuk beberapa bagian yang padat $W$ dari $Y$. Kemudian$\dim X= \dim Y+n$. Saya telah mencoba menuliskan buktinya sebagai berikut:

Bukti dengan induksi aktif $\dim Y$. Tidak ada yang membuktikan kapan$\dim Y=0$. Membiarkan$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ menjadi subvarietas tertutup. $f=(f_{1},...,f_{m})$, dimana $f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.

Membiarkan $F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$. $\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.

$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$. $\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.

$\widetilde{X}$ menjadi komponen yang tidak dapat direduksi dari $X^{'}$. $\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.

Ada komponen yang tidak dapat direduksi $\widetilde{Y}$ dari $Y^{'}$ seperti yang $\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$. $\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.

Mempertimbangkan $f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.

Bagaimana saya bisa menyimpulkan bahwa seratnya sama? Tolong selesaikan ini.

Jawaban

MattKeller Aug 20 2020 at 19:24

Mari kita asumsikan tidak dapat direduksi di sini.

  1. Karena affine open padat, dengan membatasi pada affine open, Anda akan kehilangan sebuah fiber sepenuhnya, atau sebuah fiber menjadi subset padat lain dari dirinya sendiri (karena itu tidak mengubah dimensi). Untuk gambaran dalam pikiran, pertimbangkan proyeksi sepele$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, di mana setiap serat adalah salinannya $\mathbb{P}^1$. Jika Anda membatasi pada affine terbuka$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$, serat menjadi $\mathbb{A}^1$ atau kosong (lebih dari tak terbatas).

  2. Secara intuitif, jika Anda mempertimbangkan peta aljabar $f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, lalu ideal maksimal generik apa pun $\mathfrak{m}$ dipetakan ke beberapa ideal utama $P$ yang dapat diperpanjang menjadi rantai $P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Perhatikan itu$f^*$ harus injeksi (tidak cukup, tetapi mari kita asumsikan bahwa di sini), maka cita-cita maksimal memiliki rantai $P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, dan citra bilangan prima tersebut masih prima; jadi Anda memiliki rantai panjang$\dim(Y)+n$ di $\Gamma(X)$. Saya tidak yakin apakah menyelesaikan ini menjadi bukti penuh lebih mudah ...