Kesatuan di atas status bipartit yang dapat mengubah status non-produk menjadi status produk
Pertimbangkan keadaan kuantum bipartit $\rho_{AB}$ di atas produk ruang Hilbert berdimensi-hingga $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$. Apakah ada kesatuan$U$ lebih $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ seperti yang:
- Untuk bipartit apa pun $\rho_{AB}$, matriks kepadatan tereduksi berakhir $A$ diawetkan $\mathrm{tr}_B{[U(\rho_{AB})U^*]} = \rho_A$.
- Untuk beberapa apriori diberikan$\sigma_{AB}$, hasilnya adalah status produk: $U(\sigma_{AB})U^* = \sigma_A \otimes \omega_B$ (dimana $\omega_B$ bisa apa saja).
Saya juga tertarik pada kasus di mana properti semacam itu mungkin hanya menampung beberapa sewenang-wenang $\epsilon >0$ ketepatan.
Jawaban
Kondisi pertama terpenuhi misalnya dengan kesatuan formulir $U = e^{i\theta}I_A \otimes U_B$ dimana $I_A$ adalah identitas pada subsistem $A$, $U_B$ adalah kesatuan apa pun di subsistem $B$ dan faktor fase $e^{i\theta}$ tidak relevan.
Mari kita perhatikan kondisi kedua. Ternyata kondisi tersebut tidak bisa dijamin untuk semua negara bagian$\sigma_{AB}$. Lebih tepatnya, ada negara bagian$\sigma_{AB}$ sedemikian rupa untuk setiap kesatuan $U$ dan setiap negara bagian $\omega_B$ subsistem $B$ kita punya $U\sigma_{AB}U^* \ne \sigma_A \otimes \omega_B$. Ini adalah konsekuensi dari dua fakta: bahwa transformasi kesatuan mempertahankan nilai eigen dari matriks kerapatan dan bahwa spektrum (kumpulan nilai eigen) dari matriks kerapatan generik tidak dapat direproduksi oleh spektrum keadaan produk.
Secara lebih formal, kita dapat menyatakan fakta pertama dengan mengatakan itu untuk setiap kesatuan $U$, $\lambda$ adalah nilai eigen dari $\rho$ jika dan hanya jika itu adalah nilai eigen dari $U\rho U^*$.
Untuk menunjukkan fakta kedua, pertama perhatikan bahwa nilai eigen dari sebuah $n \times n$ matriks kerapatan terletak pada $(n-1)$-simplex. Membiarkan$n_A = \dim \mathcal{H}$ dan $n_B = \dim \mathcal{H}_B$. Jika$\lambda^A_i$ menunjukkan nilai eigen dari $\sigma_A$ dan $\lambda^B_j$ menunjukkan nilai eigen dari $\omega_B$ lalu nilai eigen $\sigma_A \otimes \omega_B$ adalah produknya $\lambda^{AB}_{ij} = \lambda^A_i \lambda^B_j$. Jadi, nilai eigen dari$\sigma_A \otimes \omega_B$ terletak pada produk Cartesian dari dua kesederhanaan yang dapat dijelaskan dengan menggunakan $(n_A - 1) (n_B - 1)$parameter nyata. Di sisi lain, nilai eigen dari matriks kepadatan sambungan arbitrer pada sistem$A$ dan $B$ berbaring di sebuah $(n_An_B - 1)$-simplex. Jadi, dengan argumen penghitungan parameter sederhana kita melihat bahwa himpunan spektrum status produk adalah ukuran nol subset dari spektrum keadaan arbitrer.
Untuk contoh konkret, misalkan $A$ dan $B$ adalah qubit dan itu $\sigma_{AB}$ memiliki nilai eigen $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$. Perhatikan bahwa tidak ada dua set angka$\{\lambda^A_1, \lambda^A_2\}$ dan $\{\lambda^B_1, \lambda^B_2\}$ seperti yang
$$ \{\lambda^A_1\lambda^B_1, \lambda^A_1\lambda^B_2, \lambda^A_2\lambda^B_1, \lambda^A_2\lambda^B_2\} = \{0, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\}. $$
Akibatnya, tidak ada kesatuan $U$ seperti yang $U\sigma_{AB}U^* = \sigma_A \otimes \omega_B$.