Langkah membuktikan Riemann Sums dari Spivak Calculus.
Saya sedang mengerjakan bukti di Spivak's Calculus (2008) - hal 279 . Berikut adalah tangkapan layar dari bagian bukti yang bermasalah.

Pertanyaan saya adalah mengerjakan kombinasi langkah 1,2, dan 3 dengan benar. Saya ingin tiba di
$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$
Mengotak-atik persamaan 2, saya akan mendapatkan sesuatu dari formulir
$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$
Hal yang sama akan terjadi untuk $\int_{a}^{b}f(x) dx$. Sekarang menggunakan ide ini saya mendapatkan sesuatu dari formulir:
$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$
Inilah masalah saya, saya tidak bisa memastikannya $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. Tidak ada yang saya miliki yang dapat menyiratkan itu dan sebagai akibatnya saya tidak dapat menyimpulkan itu$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. Yang akan memungkinkan saya menyelesaikan bagian dari pembuktian ini. Dari pengalaman saya tahu itu adalah hal aljabar kecil yang saya lewatkan, tetapi saya kira saya lelah secara mental dan tidak melihatnya. Beberapa bantuan akan menyenangkan.
Jawaban
Petunjuk : Kalikan persamaan$(3)$ oleh $-1$ dan tambahkan ke persamaan $(2)$ mendapatkan:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
Dengan kata lain, kami punya $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, darimana $|y|\lt \epsilon$
$(2)$ dan $(3)$ menyiratkan bahwa jumlah dan integral keduanya $L(f,P)$ dan $U(f,P)$ jadi perbedaan mutlak di antara mereka tidak bisa lebih dari $U(f,P)-L(f,P)$ dan oleh $(1)$ ekspresi terakhir ini kurang dari $\epsilon.$