Lemah $L^p$ konvergensi untuk melewati batas dalam pendekatan linier sepotong-sepotong dari fungsi tanda?

Question

Mempertimbangkan $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ yang merupakan versi halus dari $\mathrm{sign}$ fungsi.

Seandainya $u_n \to u$ lemah di $L^p([0,1])$ untuk semua $p \in [1,\infty]$ sebagai $n \to \infty$. Benarkah itu$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ lemah di beberapa $L^p$?

Answer 1

Seharusnya $\epsilon \le 1$. Di$[0,1]$, biarkan $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ Kemudian $u_n \rightharpoonup 2$ di $L^p([0,1])$ untuk $1 \le p < \infty$, tapi $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

Tidak yakin tentang $p = \infty$, tapi saya ragu contoh balasan ini berhasil.