Memahami timbal balik Frobenius

Question

Saya terjebak mencoba memahami bukti dari proposisi berikut:

Membiarkan $\pi$ menjadi representasi yang tidak dapat direduksi dari $G=GL_2$. Maka yang berikut ini setara:

• $\pi$ setara dengan subruang dari $Ind_B^G \chi$ untuk sebuah karakter $\chi$ dari $T$ ;
• $\pi$ mengandung sifat sepele $N$.

Di sini, kami menggunakan notasi biasa: $B$ Borel standar dari matriks segitiga atas, $N$ matriks segitiga atas unipoten dan $T$ torus dari matriks diagonal.

Disebutkan bahwa ini adalah konsekuensi sederhana dari Frobenius Reciprocity, tetapi saya tidak mengerti di mana hal itu berperan.

Answer 1

Saya kira Anda berbicara tentang kelompok terbatas dan representasi kompleksnya.

Dengan timbal balik Frobenius, kami tahu $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ . Kami juga tahu bahwa $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$Ini membuktikan klaim tersebut.

Answer 2

Apa yang Anda gambarkan adalah induksi dan pembatasan Harish-Chandra. Jika$\psi$ adalah karakter dari $T$, menulis $R_T^G(\psi)$ untuk $\psi$ meningkat menjadi $B$, dan kemudian diinduksi ke $G$. Di sisi lain, jika$\chi$ adalah karakter dari $G$, menulis ${}^*R_T^G(\chi)$ untuk karakter yang diperoleh pertama kali dengan membatasi $B$, lalu mengambil subruang dari ruang ini yang ditetapkan oleh subkelompok unipoten $U$. Ini secara alami menjadi karakter untuk$T$.

Kebalikan Frobenius, diterapkan pada karakter apa pun $G$ dan karakter apa pun dari $T$, hasil $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. Untuk melihat pemberitahuan ini, kami mengabaikan dalam pembatasan HC semua karakter yang tidak meningkat dari torus. Jadi$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ dimana $\downarrow$ adalah batasan standar.

Di sisi lain, induksi HC hanyalah induksi standar dari Borel, tetapi hanya untuk karakter tertentu. Pada kasus ini$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. Dengan demikian timbal balik Frobenius melengkapi pembuktiannya.

Jika $\pi$ mengandung sifat sepele $N$, kemudian $\pi$ memiliki (inflasi) karakter $T$ dalam batasannya untuk $B$. Jadi batasan Harish-Chandra-nya bukan nol. Membiarkan$\chi$menjadi salah satu konstituennya. Kemudian induksi HC$\chi$ harus menyertakan $\pi$ dengan pernyataan di atas.