Memecahkan sistem gabungan ODE linier (satu urutan kedua, urutan pertama lainnya)

Question

Saya memiliki dua ODE gabungan untuk $T(x)$ dan $t(x)$:

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

$\alpha, \beta$ dan $K$ adalah konstanta $>0$. Juga diketahui bahwa$t(x=0)=t_i$. Selain itu, untuk$(1)$ kita tahu:

$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$

Saya perlu menentukan $T(x)$ dan $t(x)$. Adakah yang bisa menyarankan cara untuk mengatasi masalah ini?

Mungkin sistem persamaan berpasangan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks, tetapi saya tidak menyadarinya. Saya biasanya menyelesaikan persamaan tunggal menggunakan metode faktor pengintegrasian atau menggunakan persamaan karakteristik dan mencari akarnya.

Answer 1

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

PETUNJUK:

Dari $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$

$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$

Menempatkan mereka ke dalam $(1)$ :

$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$

$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$Ini adalah ODE linier dengan koefisien konstan. Saya kira Anda dapat mengambilnya dari sini.

Answer 2

Petunjuk:

Pengganti $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ di $(1)$ :

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$

Kemudian pecahkan $\frac{dt(x)}{dx}$.