Mencari tahu $n$ dan $d$ yang seperti itu $U_d(n)$ akan diberikan set.
Ini adalah posting yang terkait dengan entah bagaimana ini yang saya posting sebelumnya . Dalam posting ini masalah diselesaikan dengan sangat baik, namun, saya tidak dapat menggunakan ide yang sama dalam situasi saat ini.
Seharusnya $n$ adalah bilangan bulat positif dan $d$adalah pembagi positifnya. Jika$U(n)$ menjadi kumpulan dari semua bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan $n$ dan coprime ke $n$ dan $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ bagaimana menemukan $n,d$ seperti yang $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ akan tahan?
Jelas disini $d$ adalah pembagi dari gcd dari $1-1,13-1,25-1,37-1$ yaitu $12$. Begitu$d=1,2,3,4,6,12$. Bagaimana cara menampilkan$d$ adalah $12$hanya? Dalam soal di atas hanya ada dua nilai 1 dan 7. Namun di sini kita mendapatkan pembagi komposit juga.
Setelah kami menunjukkan itu, bagaimana menemukan $n$ kemudian?
Pada dasarnya apa yang saya cari adalah pendekatan umum jika ada. Bisakah seseorang membantu saya dalam hal ini?
Pasca Kerja
Setelah mendapatkan petunjuk dan saran (terima kasih kepada Erik Wong dan cgss) saya mencoba untuk menyelesaikan masalah ini semampu saya.
Dengan jawaban Erik, sekarang saya mengerti kenapa $d=12$hanya. Karena itu$U_d(n)$ menjadi sekarang $U_{12}(n)$. Bahkan,$12$ harus membagi $n$ dan $n>37$ dan setiap anggota $U_{12}(n)$ harus dalam bentuk $12k+1$. Namun$25\in U_{12}(n)$ yang berarti $25\in U(n)$ sehingga $(25,n)=1$ menyiratkan $(5,n)=1$. Jadi$n$ harus 5 gratis.
Kami mempertimbangkan kemudian, $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ dimana $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$ dengan $(2.3.5, m)=1$. Kemudian$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ iff $(12, \frac{n}{12})=1$. Ini menunjukkan itu$a_1-2=0, a_2-1=0$ yaitu $a_1=2, a_2=1$ yang seperti itu $n$ dikurangi menjadi $n=2^2 3^1 m$.
Karena itu \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}
[Jawaban sebenarnya adalah $n=48, d=12$. Artinya kita sekarang harus menunjukkannya$m=1$dalam persamaan di atas. Solusi dari$\varphi(m)=4$ adalah $m\in \{5,8,10,12\}$ Tapi bagaimana kita bisa menunjukkannya di sini $m=1$?]
Jawaban
Saya memposting jawaban yang jauh lebih panjang tanpa asumsi itu $d \mid n$, yang mengakui cukup banyak solusi. Memanfaatkan batasan ini memberi kita sejumlah besar struktur, yaitu itu$U_d(n)$ adalah subkelompok dari kelompok unit $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.
Sejak $U_d(n)$ memiliki 4 elemen, setiap elemen memiliki pembagian urutan $4$. Karenanya$n$ harus membagi keduanya $13^4 - 1$ dan $25^4 - 1$, yang Gcd-nya 48. Sejak $n \ge 37$, itu pasti persis $48$. Kami dengan mudah menyimpulkan itu$d=12$ begitu kita tahu $n$.
Pertama kita akan mencoba mengesampingkan nilai yang lebih kecil dari $d$. Mereka masing-masing termasuk dalam salah satu dari dua kategori$d \mid 4$ dan $d \mid 6$ (dua kasus ini sesuai dengan dua faktor prima dari $12$).
Seharusnya $d \mid 4$: maka fakta itu $U_d(n)$ tidak mengandung $5$ pasti karena $n$ habis dibagi $5$, tapi kemudian ini bertentangan $25 \in U_d(n)$.
Seharusnya $d \mid 6$: maka fakta itu $U_d(n)$ tidak mengandung $7, 19, 31$ pasti karena $n$habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut. Tapi kemudian$n > 169 = 13^2$, jadi untuk menghindari $U_d(n)$ mengandung $169$ kita butuh $n$ untuk habis dibagi $13$, bertentangan $13 \in U_d(n)$.
Now that we are assured $d=12$, there are a number of valid choices of $n$, and some amount of case-checking is unavoidable. Firstly, in the range $37 \le n < 49$, all values of $n$ should work except for those divisible by exclusionary primes $5,13,37$.
Once we check values of $n \ge 49$, we need only consider $7 \mid n$. Up to $n < 61$, this is also sufficient to exclude the only $12k+1$ number $49$ that causes trouble.
After $n \ge 61$, we need $7 \cdot 61 \mid n$. But this forces $n \ge 169$, and as above we know that this is impossible because $13 \in U_d(n)$.
The general principle in both parts of this argument (isolating $d$ and then $n$) is that exclusions due to non-coprimality tend to yield larger and larger lower bounds for $n$, and eventually force $[1,n]$ to contain a number composed only of primes that we know something about.