Mengapa kita punya $\hbar$ dalam hubungan pergantian?
Anggaplah konstanta Planck sebagai kemiringan relasi dispersi medan elektromagnetik, $E=\hbar \omega$. Konstanta Planck tidak terlepas dari muatan elektron, keduanya dapat diubah ukurannya selama konstanta struktur halus tetap tidak berubah. Namun, seringkali nyaman untuk menggunakan keduanya.
Saat kita mulai mempelajari QM, jauh sebelum sampai ke QED, kita diajarkan bahwa konstanta Planck muncul sebagai kelipatan dari $i$dalam hubungan kuantisasi kanonik. Mengapa??
Jangan salah paham, saya benar-benar baik-baik saja dengan fakta bahwa itu muncul dalam studi tentang osilator. Ini hanya bisa menjadi kuantitas berdimensi dalam hal kuantitas lain yang memiliki unit yang sama diekspresikan.
Tapi kita biasanya diberitahu sangat berbeda. Dalam semangat "nomor ini$\hbar$ di $[q,p]=i\hbar$ adalah konstanta Planck yang nilainya adalah ..., dan menetapkan skala di mana fisika mulai menjadi kuantum ".
Bayangkan dunia tanpa QED, hanya dengan quark dan gluon yang berinteraksi dengan kuat. Berapa angka yang akan mereka masukkan ke dalam relasi pergantian saat mengajar mahasiswa?
Jawaban
Pertanyaan ini menggambarkan salah satu tantangan mendasar dalam mengajar fisika. Kita perlu mempelajari hal-hal yang lebih mudah terlebih dahulu, karena kita manusia, tetapi itu bertentangan langsung dengan keinginan untuk mempelajari hal-hal dalam urutan yang jelas secara logis (aksioma terdalam terlebih dahulu, dan selamanya mendapatkan yang lain dari itu).
Kami belajar $E=\hbar\omega$untuk foton terlebih dahulu, karena lebih mudah. Kemudian kita belajar QM non-relativistik, dan kemudian kita belajar QED. Namun alasan munculnya konstanta yang sama$\hbar$ di keduanya $E=\hbar\omega$ (untuk foton) dan dalam $[q,p]=i\hbar$ QM non-relativistik (yang tidak memiliki foton) berasal dari QED!
Untuk kasus khusus ini, berikut adalah solusi yang mungkin: setelah siswa mempelajarinya $E=\hbar\omega$untuk foton, tunjukkan bahwa ini adalah kasus khusus dari hubungan yang berlaku untuk partikel dari semua massa, bukan hanya yang tidak bermassa. Secara khusus, hubungan yang sama berlaku untuk partikel masif dalam QM non-relativistik. Sekarang, setelah memperkenalkan beberapa dasar tentang QM non-relativistik, kita dapat mengumumkan bahwa faktor$\hbar$ benar-benar berasal dari relasi pergantian, dan kemudian kita bisa menunjukkan kepada mereka bagaimana mendapatkan realtion $E=\hbar\omega$ dari alasan yang lebih dalam (untuk partikel masif).
Pada saat siswa siap untuk mempelajari QM non-relativistik, mereka harus sudah terbiasa dengan fakta umum bahwa urutan yang lebih mudah-hal-pertama seringkali berbeda dari urutan yang jelas secara logis, jadi mereka harus terbuka untuk mengatur ulang urutannya. pandangan tentang dari mana konstanta Planck "berasal" ketika mereka mempelajari QM non-relativistik. Dan begitu siswa melihat bagaimana faktornya$\hbar$ di $E=\hbar\omega$ muncul dari hubungan pergantian dalam QM non-relativistik, mereka harus terbuka terhadap gagasan bahwa sesuatu yang serupa mungkin benar secara lebih umum, jadi mereka harus terbuka untuk pernyataan seperti ini:
Nanti, jika Anda mempelajari QED relativistik, Anda akan melihat relasinya $E=\hbar\omega$ untuk foton mendapatkan faktornya $\hbar$ dari sumber yang sama: hubungan pergantian.
Ini bukanlah solusi yang sempurna, karena siswa mungkin berasumsi bahwa "hubungan pergantian" berarti "antara posisi yang dapat diamati dan momentum yang dapat diamati", yang tidak benar dalam QED. Masalah itu juga memiliki solusi yang mudah, yang anehnya hilang dari kurikulum standar: Setelah mengajar QM non-relativistik dan sebelum mengajar QED, ajarkan QFT non-relativistik! QFT non-relativistik jembatan pedagogis yang bagus karena berbagai alasan, dan ini adalah salah satu alasannya. Menggunakan QFT non-relativistik, di mana matematika itu mudah, kita dapat menunjukkan kepada siswa bagaimana hubungan pergantian posisi-momentum muncul dari hubungan pergantian bidang-bidang. Dari sana, mempelajari mengapa kita tidak dapat membangun operator posisi yang ketat dalam kasus relativistik - dan mengapa kita masih bisa mendapatkannya$E=\hbar\omega$ langsung dari relasi pergantian bidang-bidang - harus menjadi langkah konseptual yang relatif mudah.
Ini tidak bergantung secara khusus pada QED, tetapi merupakan konsekuensi dari sifat umum mekanika kuantum bahwa momentum adalah posisi konjugasi Fourier, atau alternatifnya dari penyelesaian persamaan Schrodinger. Dalam satuan alamiah, transformasi Fourier mengandung istilah$e^{ix\cdot p}$. Oleh karena itu, satuan alamiah momentum adalah 1 / [panjang], dan demikian pula satuan alami energi adalah 1 / [waktu]. Sebagaimana relativitas menunjukkan bahwa satuan jarak alami adalah sama dengan satuan waktu ($c=1$), mekanika kuantum menunjukkan bahwa satuan energi alami adalah $\mathrm s^-1$. Dengan kata lain,$\hbar$hanyalah konstanta konversi antara unit alam dan energi (atau massa). Ini tercermin dalam definisi SI kilogram saat ini, dalam hal konstanta Planck.