Mengevaluasi batas urutan probabilitas

Question

Membiarkan$X_1, X_2, \ldots$menjadi urutan variabel acak iid dengan distribusi terkonsentrasi pada$[1,\infty)$dan momen kedua yang terbatas. Kami berasumsi bahwa$a=E\ln X_1$,$\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$.

Bagaimana cara mengevaluasi limit barisan peluang?$$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$Saya tidak tahu bagaimana memulainya. Saya kira itu dapat dikaitkan dengan Teorema Limit Pusat, tetapi saya tidak yakin.

Answer 1

Mengambil logaritma dan membiarkan$Y_{i} = \ln(X_{i})$:

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

Suku pertama konvergen dalam distribusi ke$N(0, \sigma^{2})$oleh teorema limit pusat, dan suku kedua konvergen dalam peluang untuk$-2a$oleh hukum lemah bilangan besar, oleh karena itu$A_n$konvergen dalam distribusi ke$N(-2a, \sigma^{2})$.

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

Di mana$\Phi$adalah cdf normal standar.