Norma tentang jumlah ruang fungsi
Apa konvensi untuk norma yang diberkahi pada sejumlah ruang $X+Y$, serta di persimpangan ruang $X\cap Y$?
Saya membaca makalah di mana penulis menggunakan sejumlah ruang fungsi tanpa menulis norma secara eksplisit, dan mereka tidak memberikan komentar lebih lanjut.
Saya berpikir bahwa mungkin norma yang paling masuk akal untuk $X\cap Y$ aku s $\|f\|_X +\|f\|_Y$ dengan norma untuk $X+Y$ kemudian menjadi $\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.
Mohon maaf jika pertanyaan ini adalah duplikat, dalam hal ini saya akan dengan senang hati menghapusnya. Saya tidak bisa menemukan pertanyaan serupa di math stackexchange.
Jawaban
https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space
Asumsikan bahwa $X$ dan $Y$ menanamkan terus menerus ke dalam ruang vektor topologi Hausdorff $Z$ (yang seperti itu $X\cap Y$ dan $X + Y$masuk akal). Norma yang biasa digunakan adalah:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$ Norma untuk $X \cap Y$masuk akal, dan setara dengan norma yang Anda sarankan. Untuk$X+Y$, sayangnya, minimal dari kedua norma tersebut bukanlah norma.
Sebaliknya, pikirkan ruangnya $X \oplus Y$ dengan norma $\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. Lihatlah subruang$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. Kemudian$X + Y$ isomorfik terhadap ruang hasil bagi $(X \oplus Y) / U$. Ini memberikan bukti cepat itu$X + Y$ dilengkapi dengan norma di atas memang ruang Banach.