Notasi istilah urutan ke-2 lemma Ito.
Saya punya pertanyaan notasi di sini.
Dalam bentuk paling sederhana dari lemma Ito, kami memiliki ini
$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$
Saya tahu cara menghitung $ d\langle Y \rangle_t $ istilah, tapi saya selalu ingin bertanya
- apa nama istilah tersebut, dan apa sebenarnya artinya?
- mengapa ditulis sedemikian khusus tetapi tidak digunakan $ Cov() $, atau $ Var() $?
Secara konseptual bagi saya itulah varians dari proses tersebut tetapi saya hanya tidak memahami notasinya. Mengapa subskrip$ t $ sedang diletakkan di luar $ \langle \cdot \rangle $.
Dapatkah saya menulisnya seperti di bawah ini?
$ \langle dY_t \rangle $
$ d \langle Y_t \rangle $
Jika ada dua proses yang terlibat, mengikuti pola saya kira itu harus ditulis seperti ini $ d\langle X, Y \rangle_t $, tetapi dapatkah saya menulisnya seperti ini di bawah?
$ \langle dX_t, dY_t \rangle $
$ d\langle X_t, Y_t \rangle $
Juga dapatkah saya menulisnya dalam bentuk integral? Di mana saya harus meletakkan file$ t $ jika saya menulisnya dalam bentuk integral?
Terima kasih banyak
Jawaban
Notasi Tangan Panjang / Tangan Pendek:
Saya pribadi selalu menemukan notasi tangan pendek membingungkan dan sampai hari ini berusaha menghindarinya bila memungkinkan. Di bawah ini, saya akan mencoba menunjukkan mengapa hal itu membingungkan dan mengarah pada kesalahan yang sering dilakukan.
Dalam notasi "tangan panjang", merupakan proses Ito $X_t$ didefinisikan sebagai berikut:
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$
Atas, $a(X_t,t)$ dan $b(X_t,t)$ adalah beberapa proses yang dapat diintegrasikan persegi.
Perlu dicatat bahwa variasi Kuadrat dari$X_t$ kemudian akan menjadi:
$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$
(ini mengikuti definisi variasi Kuadrat untuk Proses Stokastik, lihat edit di akhir posting ini)
Sekarang, dalam notasi tangan pendek, kita bisa menuliskan persamaan untuk $X_t$ di atas sebagai:
$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$
Pertama, apa sebenarnya arti notasi tangan pendek? Kami bisa mendefinisikan$\delta X_t$ sebagai berikut:
$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$
Lalu $dX_t$ dapat (secara intuitif, tidak secara ketat) dipahami di sepanjang baris:
$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$
Tapi saya pikir yang terbaik adalah memahami notasi tangan pendek untuk apa sebenarnya: yaitu tangan pendek untuk integral stokastik.
Lemma Ito:
Sekarang Lemma Ito menyatakan bahwa untuk setiap proses Ito semacam itu $X_t$, fungsi yang dapat dibedakan dua kali $F()$ dari $X_t$ dan $t$ akan mematuhi persamaan berikut:
$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$
Di atas, Anda dapat melihat istilah " variasi kuadrat ":
$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$
(yang, dalam notasi "tangan pendek" dapat ditulis sebagai $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$, yaitu persis sama dengan milik Anda $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$, Saya hanya menggunakan $F$ dari pada $f$ dan $X_t$ dari pada $Y_t$: sekali lagi, saya menemukan short-hand jauh lebih tidak intuitif daripada notasi long-hand, bahkan setelah bertahun-tahun bermain-main dengan proses Ito).
Mengapa tidak menggunakan notasi tangan pendek
Sekarang saya ingin menunjukkan contoh mengapa menurut saya notasi tangan pendek bisa sangat membingungkan: Mari kita lanjutkan dengan proses Ornstein-Uhlenbeck (di bawah, $\mu$, $\theta$ dan $\sigma$ adalah parameter konstan):
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$
Kita punya $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ dan $b(X_t,t) = \sigma$.
Trik untuk memecahkan masalah di atas adalah dengan menerapkan lemma Ito $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, yang memberikan:
$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$
Sekarang, untuk mendapatkan solusinya $X_t$, langkah terakhir adalah membagi kedua sisi $e^{\theta t}$, untuk mengisolasi $X_t$ istilah di LHS, yang memberikan:
$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$
Saya telah melihat banyak orang mencoba memecahkan Ornstein-Uhlenbeck menulis semuanya menggunakan notasi "tangan pendek", dan pada langkah terakhir, ketika kita membaginya dengan $e^{\theta t}$, Saya telah melihat orang-orang "membatalkan" istilah yang biasanya ditulis sebagai $e^{\theta h}$ di dalam integral: karena notasi tangan pendek gagal membedakan antara apa yang dimaksud dengan variabel dummy integrasi (yaitu "$h$") dan apa yang telah diintegrasikan ke"$t$".
Sebagai kesimpulan, saya tidak akan merekomendasikan penggunaan notasi tangan pendek untuk SDE, dan jika Anda menemukannya, saya akan mendorong "menerjemahkannya" ke dalam arti sebenarnya (yaitu notasi "tangan panjang"): setidaknya untuk saya , itu membuat segalanya lebih mudah untuk dipahami.
Edit Variasi Kuadrat : Variasi kuadratik untuk Proses Stokastik didefinisikan sebagai batas dalam Probabilitas karena ukuran mesh semakin halus, khusus untuk gerakan Brownian, kita dapat menulis$\forall \epsilon > 0$:
$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
Yaitu probabilitas bahwa variasi Kuadrat menyatu $t$pergi ke 1 karena ukuran mata jaring menjadi sangat baik (buktinya agak teknis, lihat misalnya di sini , di mana mereka benar-benar tampaknya membuktikan konvergensi hampir pasti (yang menyiratkan kemungkinan konvergensi)).
Perhatikan bahwa kita kemudian dapat menulis:
$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ dan dengan demikian mendapatkan rumus yang terkenal:
$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$