Penambahan Distribusi Eksponensial dan Fungsi-Kemungkinan-Terbanyak
Perkiraan toko mobil $\alpha$menit untuk mengganti oli mobil. Waktu yang dibutuhkan sebenarnya$X$ bervariasi $X\geq \alpha$dan berbeda di antara setiap pelanggan. Kita dapat berasumsi, bahwa kali ini dapat dijelaskan dengan variabel acak secara eksponensial. Jadi variabel acak X memiliki PDF berikut
$$f_X(x):=\begin{cases}e^{\alpha -x} &x\geq \alpha \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
yaitu $X=\alpha + Z$ sedangkan $Z\sim exp(1)$.
Untuk memperkirakan $\alpha$, kami mengukur waktu yang dibutuhkan untuk penggantian oli dari 10 pelanggan:
$$4.2 \quad 3.1 \quad 3.6 \quad 4.5 \quad 5.1 \quad 7.6 \quad 4.4 \quad 3.5 \quad 3.8 \quad 4.3$$
dari mana kita mendapatkan mean empiris $\bar{x}_{10}=4.41$.
Hitung Estimator-Kemungkinan-Maksimum. Perhatikan bahwa Anda tidak bisa mendapatkan Likelihood-Function).
Solusi Fungsi kemungkinan diberikan oleh
$$\begin{align} L(\alpha;x_1,\dots,x_n)&=\prod_{i=1}^nf_\alpha(x_i)=\prod_{i=1}^ne^{\alpha -x_i}1_{[\alpha, \infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \prod_{i=1}^n 1_{[\alpha,\infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \bigg(\min_{1\leq i \leq n} x_i\bigg)\\ &=\begin{cases}\exp(n\alpha-\sum_{i=1}^n x_i) & \alpha \leq \min_{1\leq i \leq n} x_i \\ 0 & \text{else}\end{cases} \end{align}$$
sedangkan
$$1_A(x)=\begin{cases}1 & x\in A \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
Untuk memaksimalkan Likelihood-Function, kita perlu memilih $\alpha$ sebesar mungkin tetapi tidak bisa lebih besar dari $\min_{1\leq i \leq n} x_i$. Jadi kita mendapatkan Estimator-Likelihood-Maksimum berikut
$$\hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} x_i \quad \text{ or as a random variable} \quad \hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} X_i$$
Pertanyaan: Sekarang saya sudah dapat perhitungannya, yang saya bingung adalah PDF-nya. Jika saya memberi tahu Anda bahwa kami memiliki variabel acak$X=\alpha + Z$ dengan $Z\sim exp(1)$, bagaimana Anda mendapatkan PDF di atas?
Juga karena saya agak bingung tentang PDF, saya tidak begitu mengerti mengapa kami mencari penduga $\alpha$ yaitu saya tidak bisa melihat itu $\alpha$ mewakili parameter dalam distribusi kami.
Jawaban
Ingat itu $$Z \sim \operatorname{Exponential}(1)$$ menyiratkan $$f_Z(z) = e^{-z} \mathbb 1(z \ge 0).$$ Sekarang biarkan $X = g(Z) = \alpha + Z$ untuk beberapa parameter $\alpha$. Kemudian$Z = g^{-1}(X) = X - \alpha$, dan $dg^{-1}/dx = 1$. Jadi$$f_X(x) = f_Z(g^{-1}(x)) \left|\frac{dg^{-1}}{dx}\right| = e^{-(x-\alpha)} \mathbb 1 (x-\alpha \ge 0) = e^{\alpha-x} \mathbb 1(x \ge \alpha),$$seperti yang diklaim. Tapi ini terlalu formal. Jika Anda memahami bahwa dukungan$Z$ aktif $[0, \infty)$, kemudian $\alpha + Z$ hanya menggeser dukungan ke $[\alpha, \infty)$dan tidak melakukan apapun pada kepadatan. Jadi yang Anda lakukan hanyalah transformasi lokasi untuk distribusi eksponensial saat Anda menambahkan beberapa parameter tetap$\alpha$.
Adapun pertanyaan Anda yang lain, $\alpha$sebenarnya adalah parameter, karena jumlah tetap dalam model kita yang mewakili jumlah waktu minimum untuk memperbaiki kendaraan, tetapi tetap tidak kita ketahui. Dengan mengamati sampel, kami mencoba membuat kesimpulan tentang nilai sebenarnya, yang menarik bagi kami. Tidak ada parameter lain dalam model untuk kami perkirakan. Anda mungkin berpikir bahwa kami ingin memperkirakan waktu layanan rata-rata, tetapi kami sudah diberi tahu$\operatorname{E}[Z] = 1$, karenanya $$\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[\alpha + Z] = \alpha + 1.$$Jadi, pengetahuan tentang waktu layanan rata-rata adalah informatif dari waktu layanan minimum. Ini karena model yang kita gunakan sudah ditentukan$\operatorname{E}[Z] = 1$dan tidak menambahkan parameter tambahan; tapi tentunya kita bisa mempertimbangkan situasi yang lebih umum, katakanlah$$\operatorname{E}[Z] = \theta, \\ f_Z(z) = \frac{1}{\theta} e^{-z/\theta} \mathbb 1(z \ge 0),$$ yang merupakan distribusi eksponensial dengan parameter mean $\theta$ (atau setara, menilai $1/\theta$). Jika kita hanya tertarik untuk membuat kesimpulan tentang$\alpha$, kemudian $\theta$akan dianggap sebagai parameter gangguan , dan rata-rata sampel sebagai penduga$\alpha$ akan "terkontaminasi" oleh $\theta$. Bagaimana kita membangun penduga yang cocok untuk$\alpha$ kapan $\theta$ juga tidak diketahui?