Penerapan teorema perubahan variabel pada n-ball.

Question

Biarkan f:$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ menjadi fungsi berkelanjutan dan $z \in \mathbb{R}^n$. Menunjukkan bahwa$$ \int_Bf(\langle x,z \rangle)=\int_Bf(x_n|z|) $$ dimana $x=(x_1,...,x_n)$ dan $B=\{x\in \mathbb{R}^n ; |x| \leq 1\}$.

Ide saya adalah untuk menerapkan teorema perubahan variabel. Saya mencoba mencari tranformasi ortogonal$h(x)=Qx$ seperti yang $|detDh|=|detQ|=|\pm1|=1$. Tetapi saya tidak dapat menemukan transformasi seperti itu. Saya akan menghargai tip apa pun tentang bagaimana menemukan transformasi ini atau ide baru tentang bagaimana menyelesaikan masalah ini.

Answer 1

Perhatikan bahwa jika $z=0$, maka kesetaraan terpenuhi, jadi anggap saja $z\neq 0$. Salah satu cara untuk menentukan transformasi ortogonal (atau sebenarnya transformasi linier apa pun) adalah dengan menentukan apa yang dilakukannya pada basis.

Sejak $z\neq 0$, pelengkap ortogonal $\{z\}^{\perp} = \ker(\langle z, \cdot\rangle)$ adalah $n-1$ subruang dimensi dari $\Bbb{R}^n$. Sekarang, pilih basis ortonormal$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}\}$ untuk subruang ini, dan definisikan $\zeta := \frac{z}{\lVert z \rVert}$. Kemudian,$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}, \zeta\}$ adalah dasar ortonormal untuk $\Bbb{R}^n$. Menetapkan$h:\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$menjadi transformasi linier sehingga \ begin {align} \ begin {cases} h (\ xi_i) & = e_i \ quad \ text {untuk$i\in \{1,\dots, n-1\}$} \\ h (\ zeta) & = e_n \ end {kasus} \ end {align} di mana$\{e_1, \dots, e_n\}$ adalah urutan standar atau dasar normal dari $\Bbb{R}^n$. Sekarang, sejak$h$ adalah transformasi linier yang memetakan basis ortonormal secara biologis menjadi basis ortonormal, mengikuti itu $h$ mempertahankan hasil kali dalam, yaitu transformasi linier ortogonal (yang secara otomatis berarti $|\det h| = 1$).

Transformasi ini memiliki properti tambahan yaitu $h(z) = h(\lVert z \rVert \zeta) = \lVert z\rVert h(\zeta) = \lVert z\rVert e_n$; yaitu memetakan$z$ ke positif $n^{th}$ sumbu.