Penjelasan penurunan rumus untuk jumlah deret aritmatika dari n suku pertama

Aug 16 2020

Saya mencoba memahami penurunan rumus untuk jumlah deret aritmatika yang pertama $n$ istilah.

Saya tidak mengerti aturan atau alasan apa yang memungkinkan dua urutan ditambahkan dalam urutan terbalik untuk menghilangkan perbedaan umum $d$ dan sampai pada kesimpulan bahwa penjumlahan dari deretan aritmatika yang pertama $n$ persyaratan adalah satu setengah $n$dikalikan jumlah suku pertama dan terakhir. Ini tampaknya menjadi cara yang dibuat-buat untuk menghilangkan perbedaan umum dari yang diperluas berdasarkan beberapa pengetahuan yang tidak dapat dijelaskan$d$ dan urutan aritmatika secara umum.

Saya telah meneliti pertanyaan ini di buku teks matematika dan online dan setiap kali derivasi disajikan, saya sepertinya tidak dapat menemukan penjelasan mengapa menjadi bukti bagi ahli matematika bahwa dengan menambahkan urutan mereka akan mendapatkan rumus.

Latar belakang.

Derivasi rumus seperti yang dijelaskan di banyak buku teks dan situs online adalah sebagai berikut.

  1. Untuk menemukan jumlah deret aritmetika pertama $n$ istilah $S_n$, kita dapat menuliskan jumlahnya dalam kaitannya dengan suku pertama $a_1$ dan perbedaan yang sama $d$.

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$

  1. Dimungkinkan juga untuk menulis urutan dalam urutan terbalik dalam hubungannya dengan suku terakhir $a_n$.

$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$

  1. Saat kita menjumlahkan urutan ini bersama-sama, kita mendapatkan rumus untuk jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika.

$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$

  1. Karena memang ada $n$ banyak tambahan $(a_1 + a_n)$ jumlah panjangnya disederhanakan sebagai $n(a_1 + a_n)$ dan memecahkan $S_n$ kita sampai pada rumusnya.

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Sayangnya saya tidak dapat menemukan alasan di salah satu penjelasan ini tentang mengapa dua urutan (urutan biasa dan sebaliknya) ditambahkan. Masuk akal bagi saya bahwa mereka ditambahkan tetapi tidak mengapa ini adalah langkah logis berikutnya saat mendapatkan rumus.

Pertanyaan.

Mengapa dua urutan ditambahkan untuk mendapatkan rumus dan apa yang ditunjukkan tentang sifat urutan aritmatika?

Dalam upaya saya untuk mencari tahu ini, saya mencatat bahwa dengan mempelajari banyak urutan kita dapat melihat bahwa rasio jumlah urutan untuk yang pertama $n$ istilah $S_n$ dan jumlah suku pertama dan terakhir $(a_1 + a_n)$ selalu $\frac{n}{2}$untuk deretan aritmatika apa pun. Jadi mungkin dapat dikatakan dengan induksi bahwa jika untuk setiap deret aritmatika memang benar bahwa:

$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$

Maka harus benar juga bahwa:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Namun, bagi saya ini masih belum menjelaskan mengapa derivasi memutuskan untuk menambahkan dua urutan tersebut.

Jawaban

2 RossMillikan Aug 16 2020 at 09:18

Komutatifitas penjumlahan memungkinkan Anda mengubah jumlah dua penjumlahan. Dengan menginduksi jumlah tambahan, Anda dapat memperluas ini ke jumlah tambahan yang terbatas. Asosiatif kemudian memungkinkan Anda mengelompokkan mereka sesuka Anda.

Mars Aug 16 2020 at 09:14

Pikirkan kembali jumlah angka segitiga. Untuk menjumlahkan n bilangan pertama, ambil bilangan pertama dan terakhir dan gabungkan untuk mendapatkan n + 1, lalu lakukan hal yang sama untuk bilangan kedua dan kedua hingga terakhir untuk mendapatkan n + 1. Untuk visual dari proses ini, lihathttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Di sini, di pertanyaan Anda, segitiga Anda sedikit miring dan tidak sampai pada satu titik, tetapi idenya tetap sama :).