Pentingnya pendekatan $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $
Untuk menunjukkan bahwa generator yang sangat kecil dari gerakan Brown adalah $\frac{1}{2}\Delta$, dalam jawaban ini , pertama dia menulis persamaan$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ kemudian dia mendapatkan perkiraan berikut: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Kemudian dikatakan bahwa "Dari (1) kita melihat itu $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ adalah solusi (unik) dari persamaan panas "
Sebagaimana dibahas di sini , kita tidak bisa begitu saja mengganti aproksimasi ke dalam persamaan kalor. Jika begitu,
- Mengapa penulis postingan itu membuat perkiraan ini? bagaimana dia menggunakan perkiraan ini untuk membuktikannya? jika dia tidak menggunakannya,
- Adakah yang bisa menjelaskan lebih lanjut argumennya bahwa: "Dari (1) kita melihat itu $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ adalah solusi (unik) dari persamaan panas ... "?
Jawaban
Kebingungan Anda mungkin muncul karena Anda berpikir bahwa pendekatan tersebut berfungsi untuk membangun solusi persamaan kalor. Apa yang terjadi adalah Anda memulai dengan penyelesaian beberapa persamaan diferensial parsial (PDE), dan pendekatan tersebut berfungsi untuk mengidentifikasi PDE ini sebagai persamaan kalor. Tidak ada bukti yang diberikan di salah satu postingan yang Anda tautkan. Itu hanyalah argumen formal untuk membantu mengembangkan intuisi.
Mulailah dengan pertanyaan kedua Anda. Persamaan (1) adalah$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Menurut definisi ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Pengaturan $u(t,x) = P_t f(x)$ dalam persamaan (1), kita punya $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ Sini, $A$ adalah operator diferensial, jadi $u(t,x)$menyelesaikan beberapa persamaan diferensial dengan beberapa kondisi awal. Persamaan diferensial mana itu?
Untuk menebak persamaan diferensial itu, pendekatannya$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$digunakan. Menempatkan ini langsung di sisi kiri ($\spadesuit$), Anda menemukan $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Berdasarkan hubungan ini, dapatkah Anda menebak apa $A$ adalah?