Tidak dapat direduksi dari polinomial tertentu

Question

Membiarkan$n \geq 2$dan kami bekerja di atas rasional.

Pertanyaan 0: Apakah faktorisasi menjadi polinomial tak tereduksi dari bentuk$p_{n,i}(x)=x^n+x^i+1$diketahui, dimana$0<i<n$?

Pertanyaan 1: Benarkah$n$sedemikian rupa sehingga semua$p_{n,i}(x)$tidak dapat direduksi diberikan oleh urutanhttps://oeis.org/A038754? Ini benar untuk$n \leq 55$.

Pertanyaan 2: Dalam kasus$p_{n,i}(x)$tidak dapat direduksi, apa grup Galoisnya?

Answer 1

Tentang Pertanyaan 1:

Membiarkan$n=3^rps$, di mana$p$adalah prima,$p\ge5$, dan$s$bukan kelipatan dari$3$. Membiarkan$m=3^rt$di mana$ps>t>0$dan$ps+t$adalah kelipatan dari$3$. Membiarkan$\zeta=e^{2\pi i/3^{r+1}}$. Kemudian$\zeta^n+\zeta^m+1$adalah jumlah dari tiga akar pangkat tiga kesatuan, jadi itu nol, jadi$x^n+x^m+1$habis dibagi polinomial minimal untuk$\zeta$. Polinomial itu memiliki derajat$2\times3^r$, yang kurang dari$n$, jadi$x^n+x^m+1$dapat direduksi.

Sekarang mari$n=4t$untuk beberapa$t$. Kemudian$$x^n+x^{n/2}+1=x^{4t}+x^{2t}+1=(x^{2t}+x^t+1)(x^{2t}-x^t+1)$$jadi$x^n+x^{n/2}+1$dapat direduksi.

Ini hanya daun$n$dari bentuk$3^r$dan$2\times3^r$mempertimbangkan. Memperkirakan$n$adalah salah satu dari bentuk-bentuk ini, dan pertimbangkan$x^n+x^m+1$,$0<m<n$. Pada titik ini, kita harus membawa hasil besar dari makalah yang dikutip di mathoverflow.net/questions/56579/about-irreducible-trinomials . Ini mengatakan bahwa$x^n+x^m+1$memiliki paling banyak satu faktor non-siklotomik, di mana yang saya maksud dengan faktor siklotomi adalah polinomial yang nolnya semuanya pada akar kesatuan. Itu adalah,$x^n+x^m+1$adalah baik$P(x)$atau$Q(x)$atau$P(x)Q(x)$, di mana$P(x)$adalah faktor siklotomi, dan$Q(x)$adalah faktor non-siklotomik yang tidak dapat direduksi. Jika itu$Q(x)$, maka selesai – kami telah membuktikan bahwa itu tidak dapat direduksi, seperti yang diminta. Jadi, kami menganggapnya memiliki faktor siklotomik$P(x)$, yang memiliki akar$\zeta$, yang merupakan akar dari kesatuan. Kemudian$\zeta^n+\zeta^m+1=0$, jumlah hilang dari tiga akar kesatuan, yang hanya dapat menjadi jumlah dari tiga akar pangkat tiga kesatuan. Dari sini, saya ingin menyimpulkan bahwa kita harus memiliki$n=2\times3^r$,$m=3^r$, dan$x^n+x^m+1$adalah polinomial minimal untuk$\zeta$, karenanya, tidak dapat direduksi, dan kita sudah selesai, tetapi saya tidak melihatnya sekarang. Saya akan mencoba kembali untuk menyelesaikan ini dalam satu atau dua hari.