Topologi ruang bernorma yang lemah

Question

Membiarkan $X,Y$ menjadi dua ruang bernorma dan $T:X\rightarrow Y$ menjadi operator linier terbatas. Sekarang pertimbangkan $X,Y$dengan topologi lemah. Pertanyaan saya adalah ya$T$ memetakan set yang lemah kompak $X$ ke set yang sangat kompak $Y$ dan pertanyaan kedua adalah ya $T$ tetap menjadi peta berkelanjutan jika kami melengkapi $X,Y$ dengan topologi lemah.

Answer 1

Jika $V$ adalah elemen subbasis dari $\tau_w$ di $Y$ mengandung $0_Y$, lalu ada fungsional $\phi:Y\to \mathbb F$ dan $\epsilon>0$ seperti yang $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Kemudian,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Sekarang$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ adalah fungsi linier kontinu (norma-) jadi $T^{-1}(V)$ terbuka lemah $X$ dan berisi $0_X$. Ini mengikuti itu$T$lemah-lemah terus menerus. Ini memberikan jawaban afirmatif untuk pertanyaan kedua, yang kemudian memberikan jawaban afirmatif untuk pertanyaan pertama.

Answer 2

Jawaban ini tidak memberikan sesuatu yang baru, tapi menurut saya penjelasan dari segi urutan mungkin lebih jelas. Pertanyaan kekompakan mengikuti dari kontinuitas lemah-ke-lemah (implikasinya berlaku untuk topologi sewenang-wenang), jadi cukup untuk menunjukkan yang terakhir.

Seharusnya $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Kemudian, untuk semua$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. Secara khusus, semua bentuk ganda$g\circ T$, dimana $g\in Y^*$, akan memuaskan $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Tapi ini adil $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.