分数階微分に関する質問

Question

分数階微積分についてはほとんど何も知りませんので、以下がばかげた質問である場合は事前にお詫び申し上げます。私はすでにmath.stackexchangeを試しました。

線形で次の特性を満たす分数階微分の概念があるかどうかを尋ねたかっただけです。 $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ どこ $\alpha$スカラーです。標準的な導関数の場合、$\alpha = n$。

どうもありがとうございました。

Answer 1

基本的に、1次および0次の演算子以外に、この方程式に対する興味深い解決策はありません。 $n=2$。

まず、仮説を脱分極させることができます$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ 交換することにより $f$ と $f+g, f-g$ 任意の機能の場合 $f,g$ 減算（そして除算） $4$）より柔軟なライプニッツ型のアイデンティティを取得する $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

の値に応じて、現在3つのケースがあります $\alpha_2$：

1. $\alpha_2 \neq 1,2$。（2）を適用する$f=g=1$ 次に、次のように結論付けます。 $D^u(1)=0$、そして（2）をもう一度適用するだけで $g=1$ 我々が得る $D^u(f)=0$。だから私たちは簡単な解決策を持っています$D^u=0$ この場合。
2. $\alpha_2=2$。その後、$D^u$で導出は、誘導によって、私たちは持っています$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$、通常の導関数と同じように、 $\alpha_n=n$ すべてのために $n$ 分数の動作はありません。
3. $\alpha_2=1$。（2）を適用する$g=1$ 私たちは（代数の少しの後）を取得します $D^u(f) = mf$ どこ $m := D^u(1)$。したがって、$D^u$ 従う単なる乗数演算子です $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$、したがって $\alpha_n=1$ すべてのために $n$。

したがって、通常の導関数以外に方程式の線形解はありません（たとえば、 $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ 滑らかなシンボルの場合 $a$）および乗数演算子 $D^u(f) = mf$つまり、1次および0次の演算子です。

一方、分数階微分 $D^u$ 「分数連鎖律」に従う傾向がある $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ さまざまなスムーズな機能のために $F,f$、ここでエラー $E$この方程式の他の2つの項よりも、さまざまなソボレフ空間でより適切な推定に従います。特に、$F(t) = t^n$、私たちは持っているだろう $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ 「良い」誤差項の場合 $E$。たとえば、$u=n=2$ と $D$ 通常の導関数、 $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ と $E$「carréduchamp」オペレーター$$ E := 2 (Df)^2.$$ エラーに注意してください $E$ によって均一に制御されます $C^1$ の規範 $f$しかし、（3）の他の2つの用語はそうではありません。以前のMathOverflowの回答を参照してくださいhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 いくつかの参考文献とさらなる議論のために。

Answer 2

あなたが実際に欲しいようです $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$、 どこ $\alpha$ スカラーです。

これが真実である理由はありません、そしてこれは一般的に確かに誤りです。例：$n=2$そしてリーマン-リウヴィル分数の派生物の$f:=\exp$ と $u=1/2$、 $a=0$、および $x>0$ 我々は持っています $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ 一方、 $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ そのため $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ 定数とはまったく異なります。

さらに、用語 $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ の式で $(D^u(f^n))(x)$ ここと用語 $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ の式で $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ 他の種類の分数階微分が希望どおりに機能する可能性は非常に低いようです。

Answer 3

古典的な分数積分微分に適用できる一般化されたライプニッツの公式は次のとおりです。

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

どこ $D_L$ 製品の左側の機能に作用し、 $D_R$正しい機能について。たとえば、Fugere、Gaboury、およびTremblayによる新しい変換式を介した分数階微分のライプニッツの法則と積分類似体を参照してください。

この一般化されたライプニッツの法則は、フランチェスコ・マイナルディとジャンニ・パニーニによる「分数階微積分の開発におけるサルヴァトーレ・ピンシェルの役割」で説明されているピンチェルによって与えられた賢明な公理を満たす分数積分導関数に適用されます。負または正。この操作の担当者はこのMSE-Qに表示され、コンフルエント（このMO-Qを参照）と通常の超幾何関数を定義するために使用できます。

これらの担当者 $D^{\omega}$積分、積分階乗の一般化、および積分二項係数（このMO-Qの私の回答/参照を参照）を介したオイラーガンマ関数とベータ関数の定義の中心にあり、ほとんどの研究者は数学の取り組みで頻繁に使用します- -MOで表明されたいくつかの意見に反して。このMO-Qの半導関数の例を参照してください（多くのユーザーは、フーリエ変換によって定義された疑似微分演算子と混同しているようです）。