エルゴード性の場合、R値と勾配の重要性は何ですか？
私は初めてMSDを計算していて、それらを理解する上で初心者レベルのリソースを見つけるのに苦労しています。誰かがリソースを提案したり、MSDの結果を解釈する方法についてのガイダンスを提供していただければ幸いです。
流体力学シミュレーションで使用するデータを収集するために、NPTシミュレーションを実行しています。しかし、今では、同じようなシステムを見た人と比べて、低温を使用していることに気づきました。したがって、MSDを評価して、シミュレーションがエルゴードであることを確認したいと思います。
私は統計の経験があまりなく、私が理解していない基本的なポイントは、それが重要なのはMSDの傾きなのかR値なのかということです。または両方。
私が計算したMSDの例を以下に示します。この出力を取得します（使用する時間間隔を制御できません。ソフトウェアが選択します）。
Linear regression interval 41.52 - 83.03 ps. MSD(t) = -10806.283111 + 1575.888517 * t R = 0.977891
曲線が垂直になるまでの間隔1psで勾配を計算すると、約0.8が得られますが、これはあまり良くないことがわかります。許容値が何であるかはわかりませんが、> 0.9と推測しています。1 psからではなく、10 psから勾配を計算すると、0.95が得られます。しかし、両対数プロットでは、それは小さな間隔です。許容できないほど小さいですか？
回答
エルゴード性の簡単な紹介
- エルゴード性とは、時間平均がアンサンブル平均に等しい場合です。
- 時間平均がアンサンブル平均に「二乗平均で収束する」場合、プロセスはエルゴード的です。
- シーケンス $X_t$ 二乗平均に収束します$X$ 場合：
$$ \tag{1} \lim_{t\rightarrow \infty}\langle \left|X_t - X\right|^2 \rangle = 0, $$
どこ $\langle x \rangle$ の平均（平均）を意味します $x$。もしそうであれば、平均の平方時間平均及びアンサンブル平均（すなわち絶対差のMSD、それらの間に）ゼロに近づく、プロセスはエルゴード的であると言うことができます。
一般化された拡散の簡単な紹介
MSDをプロットすると$(t)$ 縦軸にMSDを使用し、 $t$ 横軸に、データをべき法則の形式に適合させます。
$$ \tag{2} \textrm{MSD}(t) = Dt^\alpha, $$
どこ $D$は拡散定数であり、$\alpha$ある一般化拡散指数は：
- 通常の拡散は次の特徴があります$\alpha=1$、MSDを意味します$(t)$ 線形です。
- 部分拡散は次の特徴があります$0<\alpha<1$、MSDを意味します$(t)$ 劣線形です。
- 超拡散は次の特徴があります$\alpha>1$、MSDを意味します$(t)$ 超線形です。
統計的回帰の簡単な紹介
決意の係数は、により与えられます。$R^2$そして「適合度」の尺度です。具体的には、データに直線または曲線を当てはめる場合、その直線または曲線はデータをどの程度適切に予測しますか？場合$R^2 = 1$ 次に、データはフィットした直線または曲線によって完全に予測されます。
あなたのケースへの適用
「重要なのはMSDの傾きなのかR値なのか、あるいはその両方なのかわかりません。」
あなたはあなたのMSDをプロットすることができます$(t)$データを式に当てはめます。2、それはあなたに$\alpha$、これはあなたが持っている拡散のタイプを教えてくれます。しかし、両対数プロットを行うことを選択したので、式 2はそれに応じて変更する必要があります：
\begin{align} \tag{3} \log\textrm{MSD}(t) &= \frac{\alpha \log D}{\log 10} \log(t), \\ y &= m x, ~~~ m \equiv\alpha\left(\frac{ \log D}{\log 10}\right). \tag{4} \end{align}
勾配：式 図４は、非常に大きな勾配は超拡散を示し得る可能性があり、非常に小さな勾配は亜拡散を示し得ることを示している。
$R$-値：あなたの$R$ 値は $R^2$ 0.956の場合、これは、近似を行った領域（41.52〜83.03 ps）で、データがかなり線形であることを意味します（より線形になる可能性がありますが、はるかに悪くなる可能性があります）。