これらの2つのメトリックは同等ですか?
しましょう $d_1$ そして $d_2$ スペースの指標になる $X$。任意のシーケンスについて$\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X$ とポイント $x_0 \in X$ 私たちはそれを持っています $$ \lim_{n \to \infty}d_1(x_n,x_0)=0 \iff \lim_{n \to \infty}d_2(x_n,x_0)=0. $$ 指標は次のように結論付けることができますか $d_1$ そして $d_2$同等です。つまり、同じ(メトリック)トポロジを誘導しますか?スペースがあるので、私は簡単に「はい」と言いたくなるでしょう$(X,d_1)$ そして $(X,d_2)$同型写像は恒等関数によって与えられる同型写像です。私は何かが足りないのですか?
回答
メトリック $d_1,d_2$ オン $X$ 同等の場合 $\textrm{id}_X: (X,d_1) \to (X,d_2)$ 同相写像です。
そして、の連続連続性基準 $\textrm{id}_X$指定されたプロパティによって、両方向に適用されます。だからあなたが持っているアイデアは良いです。もっと正確に言ってください。
別の観察:任意のメトリックトポロジで $O$ 開いている場合
$$\forall x \in O: \text{ for all sequences } (x_n)_n \text{ in } X: (x_n \to x) \implies (\exists N \in \Bbb N: \forall n \ge N: x_n \in O)$$
など $d_1$ そして $d_2$同じ収束シーケンスを持ち、同じ開集合も持っているので、同等です。閉集合のこれのバリエーションも作成できます。
あなたは何も見逃していません。閉集合は、それからのシーケンスの制限がそれに属する場合に限り閉じられるため、2つのメトリックで同じです。したがって、2つのメトリックは同じ閉集合(したがって同じ開集合)を持ちます。