正行列の性質

Question

しましょう $A$ である $C^*$-代数としましょう $a = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix} \in M_n(A)$正の行列。

それは本当ですか $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C}$、その後 $$\begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}$$の正の要素です$A$？

特性評価を使ってみました $a= x^*x$ しかし、計算がかなり醜くなったので、これを確認するための概念的な簡単な方法があるかどうか疑問に思いました。

Answer 1

場合 $a$ の正の要素です $M_n(A)$、次にあります $b \in M_n(A)$ と $a = b^*b$。その結果$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} \right]^*\left[b\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix}\right]. $$ 書いて $$ b \pmatrix{\lambda_1\\ \vdots \\ \lambda_n} = \pmatrix{c_1\\ \vdots \\ c_n} $$ いくつかのための $c_1,\dots,c_n \in A$。上記から、$$ \begin{pmatrix}\overline{\lambda}_1 & \overline{\lambda}_2 & \dots & \overline{\lambda}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{pmatrix} = \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n}^* \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = \sum_{i=1}^n c_i^*c_i. $$ ここで、正の要素の合計が正であることに注意するだけで十分です。