制限の定義を使用した制限の証明
制限の定義を使用して制限を証明することについての質問（コンテキスト用に提供）は次のとおりです。
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left({x^2} + x - 11\right) = 9$
それでは、始めましょう。しましょう$\varepsilon > 0$ 任意の数である場合、数を見つける必要があります $\delta > 0$ 次のことが当てはまるように。
$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 4} \right| < \delta$
少し単純化
$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| = \left| {{x^2} + x - 20} \right| = \left| {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 4} \right)} \right| = \left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$
万が一、それを示すことができれば $\left| {x + 5} \right| < K$ いくつかの数のために $K$ 次に、次のようになります
$\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < K\left| {x - 4} \right|$
今、私たちが本当に見せたいのは $K\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ の代わりに $\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ 次のようになります。
$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K}$
これはすべて、私たちが示すことができるという仮定に基づいています $\left| {x + 5} \right| < K$ いくつかのための $K$。これを行うために、私たちは何でも$x$ に近い必要がありますか $x=4$限界に取り組んでいるので。だから、$x$ のいずれかの距離内にあります $x=4$。不平等の観点から、私たちは仮定することができます
$\left| {x - 4} \right| < 1$
私たちが持っている絶対値バーを削除することから始めます
$- 1 < x - 4 < 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3 < x < 5$
この不等式のすべての部分に5を追加すると、次のようになります。
$8 < x + 5 < 10$
さて、 $x + 5 > 8 > 0$ （ここではポジティブな部分が重要です） $\left| {x - 4} \right| < 1$ 私達はことを知っています $x + 5 = \left| {x + 5} \right|$。または、上記の2つの不等式を取ると、
$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$ $\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\left| {x + 5} \right| < 10\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}K = 10$
だから、提供 $\left| {x - 4} \right| < 1$ 私たちはそれを見ることができます $\left| {x + 5} \right| < 10$ これにより、
$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K} = \frac{\varepsilon }{{10}}$
https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcI/defnoflimit.aspx
この二重の不平等からどうやって抜け出したのか $8 < x + 5 < 10$ これに $8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$。私が理解していることから$|{x + 5}| < 10 $ 次のように書くこともできます $-10<x + 5<10$、その後、著者の声明：
$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$
間隔の一部を除外しているため、真ではないはずです。 $|{x + 5}| < 10 $ 含む（絶対値の不等式が二重不等式に展開されたときに見られる間隔、すなわち $-10<x + 5<10$）
回答
あなたは仮定で働いています $|x-4|<1$、つまり $3<x<5$。そう$x+5=|x+5|$ なぜなら $x+5$ 常に正の場合 $x \in (3,5)$。
あなたが持っている $$ |x+5|=|x-4+9|\leq|x-4|+9\leq\delta+9 $$ そう $$ |x-4||x+5|\leq\delta(\delta+9)<\varepsilon $$ そしてあなたはあなたが選ぶことができるのを見ることができます $$ 0<\delta<\frac{9}{2} \left(\sqrt{1+\frac{4\varepsilon}{81}}-1\right). $$