整数列A178157
http://oeis.org/A178157
A178157は、すべてのプレフィックスで割り切れる数を表す数列です。たとえば、2020は2、20、202（および2020）で割り切れるため、2020は順番に並んでいます。しかし、100を過ぎると、シーケンス内のすべての数字がゼロで終わることに気付きました。だから私の質問は、ゼロで終わらない100より大きいシーケンスA178157の数がありますか？
私自身の進歩：
私の友人がコードを書いて、運が悪かったので1億までのすべての数字をチェックしました。このシーケンスで100を超えるすべての数値がゼロで終了する必要があるという証拠はありますか？
それを証明しようとして私が考えることができた唯一のリードは、ゼロで終わる接尾辞があるため、数値にゼロが含まれていてはならないということでした。
興味深いことに、同様のシーケンスA178158があり、プレフィックスの代わりにサフィックスを調べます。シーケンスには、ゼロを含まない多数の大きな数値があります。たとえば、53125は5、25、125、3125で割り切れます。 、（および53125）。このシーケンスの数値はいずれもゼロで終わりません。これは、最初のプレフィックスがゼロであり、ゼロで除算できないため、証明がはるかに簡単です。
回答
答えは、そのような3桁以上の数字はで終わる必要があるということです $0.$
場合 $n\geq 10$ その後、 $10n+d$ で割り切れる $n,$ 絶対必要です $d$ で割り切れる $n.$ しかし、 $d$ は数字の場合 $0\leq d<10\leq n,$ だから唯一可能な $d$ です $0.$
この引数はどのベースでも機能します。
ロスがコメントで述べたように、数が $2k+1,$ 以上の桁、それはで終わる必要があります $k$ ゼロ。
これは、同様の議論、またはベースを使用して見ることができます $10^k,$ ベースのプロパティを満たす任意の数に注意してください $10$ ベースの番号でもあります $10^k,$ との数 $2k+1$ 基数が2桁以上 $10$ です $3$ 基数が2桁以上 $10^k.$
質問とは関係ありませんが、そのような数値が与えられた場合、最後にゼロを追加できるだけでなく、最後のゼロ以外の桁の直前にゼロを追加することもできます。つまり、$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ 次に、ゼロ以外の数を見つけることができます $0$ 間に追加する $d_{k-1}$ そして $d_k.$
具体的には、 $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ その後 $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$
さて、 $f(N)$ の数です $N$ のすべての要因で $2$ そして $5$ 削除すると、定義できます $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$
次に、定義することができます $m$ の順序が1つ少なくなる $10$ モジュロ $D.$
たとえば、 $n=14490000$ あなたが持っている $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$
の順 $10$ モッド $9$ です $1,$ だからあなたはただの順序が必要です $10$ モッド $7,$ そしてそれは $6$、および $m$ です $5.$ 次に：
$$144000009\cdot 10^9$$
右側もゼロで埋める必要があります。