シューア関数の観点からの特定の拡張について
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行と列の順列に関連するSchur陽性予想
リチャード・スタンリー(サム・ホプキンスに知らせてくれてありがとう)。
若いサブグループを考えてみましょう $S_{\lambda}$ 対称群の $S_n$、いくつかの整数パーティションに対応 $\lambda$ の $n$。しましょう$\tau$ いくつかの順列であり、対称関数を定義します
$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ どこ $p_{\mu}$ 通常のパワーサム対称関数であり、 $c(\rho)$ 順列のサイクルタイプによって与えられる整数分割を示します $\rho$。
Q:のシューア関数展開について何がわかっていますか$F(\tau)$、の二重剰余類クラスが与えられた $\tau$ 若いサブグループのために?
回答
一つの事実は $F(\tau)$ Schurは、次の場合にのみポジティブです $\tau\in S_\lambda$。より一般的には、$K$ 任意のサブグループの任意の剰余類(左または右)です $G$ の $S_n$、その後 $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ Schurは、次の場合にのみポジティブです $K=G$。「if」部分の唯一の既知の証明には表現論が必要です。Enumerative Combinatorics、vol。を参照してください。2、396ページ。「のみ」の部分については、ゼロ以外の線形結合であるかどうかを簡単に確認できます。$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ べき和の和がシュール正である場合 $a_{1^n}>0$。