シューア関数の観点からの特定の拡張について

Aug 20 2020

この質問はこの他の質問に関連しています

行と列の順列に関連するSchur陽性予想

リチャード・スタンリー(サム・ホプキンスに知らせてくれてありがとう)。

若いサブグループを考えてみましょう $S_{\lambda}$ 対称群の $S_n$、いくつかの整数パーティションに対応 $\lambda$$n$。しましょう$\tau$ いくつかの順列であり、対称関数を定義します

$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ どこ $p_{\mu}$ 通常のパワーサム対称関数であり、 $c(\rho)$ 順列のサイクルタイプによって与えられる整数分割を示します $\rho$

Q:のシューア関数展開について何がわかっています$F(\tau)$、の二重剰余類クラスが与えられた $\tau$ 若いサブグループのために?

回答

3 RichardStanley Aug 20 2020 at 21:23

一つの事実は $F(\tau)$ Schurは、次の場合にのみポジティブです $\tau\in S_\lambda$。より一般的には、$K$ 任意のサブグループの任意の剰余類(左または右)です $G$$S_n$、その後 $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ Schurは、次の場合にのみポジティブです $K=G$。「if」部分の唯一の既知の証明には表現論が必要です。Enumerative Combinatorics、vol。を参照してください。2、396ページ。「のみ」の部分については、ゼロ以外の線形結合であるかどうかを簡単に確認できます。$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ べき和の和がシュール正である場合 $a_{1^n}>0$