A classe de todos os conjuntos está bem ordenada? (Em sentido mais amplo)
Eu vi a pergunta Classes apropriadas bem ordenadas. e eu quero perguntar o seguinte.
A classe de todos os conjuntos está ordenada linearmente? Quer dizer, vamos supor que usamos a teoria dos conjuntos ZFC. (Ou axioma ZFC + Tarski. (1) A propósito, tal sistema contém inconsistências conhecidas?). Cada universo é bem ordenado pelo teorema de Zermelo.
(2) Mas existe uma classe que é uma bijeção entre Ord e Set?
Acho que essa classe de universos é linearmente ordenada. Podemos preservar uma ordem no universo inferior e adicionar uma ordem da diferença teórica do conjunto entre o universo atual e o anterior. (Que também é um conjunto porque pertence ao próximo universo.) (3) Minhas afirmações são válidas?
(4) Como continuá-los ou provar a ordem de Set de outra maneira?
Tudo o que quero é provar de alguma forma que existe um elemento "mínimo" de cada classe adequada.
Respostas
(1) Quase todos os teóricos de conjuntos acreditam na consistência do axioma de ZFC e ZFC + Tarski (ou equivalentemente, ZFC com uma classe adequada de cardinais inacessíveis). Claro, não podemos provar sua consistência devido ao teorema da incompletude de Gödel se eles forem consistentes.
(3) Na verdade, a coleção de todos os universos (Tarski-Grothendieck) são bem ordenados: eles são da forma $V_\kappa$ para algum inacessível $\kappa$, e a classe de todos os inacessíveis são uma subclasse da classe de todos os ordinais. Portanto, eles são bem ordenados. (Observe que se você se refere a um universo meramente um modelo de ZFC, então eles não são ordenados linearmente.)
No entanto, não podemos provar a classe de todos os conjuntos $V$está bem ordenado a partir desse fato, mesmo que tenhamos o axioma de Tarski. Você tem que escolher uma boa ordem em cada etapa, e é necessária uma classe adequada de muitas escolhas, o que não é justificável a menos que tenhamos o axioma da escolha global.
(2) A classe de todos os conjuntos definíveis ordinais $\mathrm{OD}$ é uma imagem bijetiva da classe dos ordinais $\mathrm{Ord}$. Na verdade, se$X$ é uma classe que é uma imagem bijetiva de $\mathrm{Ord}$sob uma função de classe bijetivo definível , então$X\subseteq \mathrm{OD}$. Daí se$V\neq \mathrm{OD}$, então não há bijeção definível entre $\mathrm{Ord}$ e $V$.
Mesmo se abandonarmos a definibilidade, não há razão para assumir que há uma bijeção entre $\mathrm{Ord}$ e $V$. Veja a resposta relevante no Mathoverflow.
(4) Sabe-se que são equivalentes:
- $V$ tem um bom ordenamento,
- Há uma bijeção de $\mathrm{Ord}$ para $V$, e
- O axioma da escolha global.
Existem alguns axiomas que implicam o axioma da escolha global: por exemplo, o axioma da construtibilidade prova que existe uma boa ordenação global canônica. No entanto, o mero ZFC não prova o axioma da escolha global, mesmo se assumirmos o axioma de Tarski. Portanto, não há como provar a escolha global a partir de suas teorias.