Calculando uma integral de 2 variáveis ​​- mudando a ordem de integração

Question

Eu tenho que calcular esta integral:

$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$

Porque não aprendemos como calcular $\int e^{a}{x} dx$ (porque tem algo com função gama etc.) me faz pensar em apenas uma opção e é virar o $dx \Leftrightarrow dy$

$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$

e assim $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$

O que novamente me leva a esta função gama .. ($\Gamma$...) e não sabemos como trabalhar com isso (não está em nosso currículo)

Qualquer ajuda seria apreciada!! Obrigado!

Answer 1

Você estava correto ao trocar a ordem de integração.

Observe que a região de integração abrange desde $\sqrt y\le x\le 1$ com $y\in [0,1]$. Esta é a mesma região da região$0\le y\le x^2$ com $x\in [0,1]$. Portanto, temos

$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$

E agora você pode encerrar isso.