Calcule algumas integrais envolvendo funções elípticas de Jacobi
Eu quero avaliar as integrais a seguir $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ e $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ Onde $\text{sn}$, $\text{dn}$ e $\text{cn}$são as funções elípticas Jacobi snoidal , dnoidal e cnoidal ,$K:=K(k)$ é a integral elíptica completa de primeiro tipo e número $k \in \left(0,1\right)$ é chamado de módulo.
Já consultei a referência $[1]$em busca de alguma fórmula que me ajude, mas não encontrei nada. Essas integrais têm uma forma explícita? Existem outras referências que eu possa consultar para me ajudar?
$[1]$PF Byrd. MD Friedman. Hand Book of Elliptical Integrals for Engineers and Scientis. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim,$1971$.
Respostas
Por meio das relações fundamentais (B & F 121,00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ podemos transformar a primeira integral dada em $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ Por B&F 364,03, podemos reescrever isso como uma integral completamente racional, que é facilmente avaliada: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ Quando transformamos a segunda integral dada, obtemos $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ ponto em que percebemos que este é apenas um caso especial da primeira integral dada com $k^2=1$, então obtemos imediatamente o resultado como $\frac\pi{16}$.