Como posso ter um gráfico preciso para ter certeza de que esse gráfico é contínuo ou não?

Question

Eu tenho esta função de 3 variáveis

f := 16 ((-1 + (9 x^2)/4) Cos[z] Cosh[(π x)/3] + 
      3 x Sin[z] Sinh[(π x)/3]) Sinh[π x] + 
   8 (-1 + (9 x^2)/4) Sinh[x y] + (-3 + (9 x^2)/4)^2 Sinh[
     x (2 π + y)] - (1 + (9 x^2)/
      4)^2 (2 Cosh[(2 π x)/3] Sinh[x y] + Sinh[2 π x - x y]);

Eu uso ContourPlot3D como

ContourPlot3D[f == 0, {x, 1.1, 1.21}, {y, 2, 2.2}, {z, 0.8, 1.2}]

e obtenho o resultado (anexei diferentes orientações do enredo)

Aqui, vejo uma parte vazia no meio. Tenho certeza de que essas duas folhas se tocam ou se evitam. Portanto, esta parte vazia (se estiver realmente vazia!) Não deveria ser verdadeira. Como posso obter um resultado (gráfico) mais preciso para ter certeza de que são contínuos (se encontram) ou não?

Answer 1

Sim, há um ponto crítico onde as folhas se unem:

jac = D[f, {{x, y, z}}];

FindRoot[jac == {0, 0, 0}, {{x, 1.1}, {y, 2.1}, {z, 1}}];
cpt = {x, y, z} /. %
f /. %%

(*
  {1.1597, 2.12999, 0.963489}
  0.                           <-- on the surface  f == 0
*)

Coloque o ponto crítico no meio do gráfico (e use um número ímpar para PlotPoints, padrão = 15).

cplot = ContourPlot3D[
  ff == 0,
  {x, cpt[[1]] - 0.1, cpt[[1]] + 0.1},
  {y, cpt[[2]] - 0.3, cpt[[2]] + 0.3},
  {z, cpt[[3]] - 0.6, cpt[[3]] + 0.6}, 
  AxesLabel -> Automatic]

Discussão. A plotagem de contorno é realizada por meio de amostragem discreta e a aplicação do teorema do valor intermediário para determinar quando a superfície do contorno passa por um elemento da malha. É uma maneira bastante grosseira de aproximar uma superfície. Seu desempenho é melhor quando uma única folha de uma superfície passa por um elemento de malha. Quando as folhas se cruzam ou se tocam, às vezes é difícil deduzir o que está acontecendo. As abordagens típicas incluem aumento PlotPoints(valor padrão 15) ou MaxRecursion(valor padrão 2). Essas abordagens levam a uma malha mais fina e orifícios menores. Às vezes, eles resolvem o problema completamente. Acima, pudemos aplicar conhecimentos específicos sobre a superfície. Se houvesse dois desses pontos críticos, provavelmente não poderíamos fazer o trabalho acima.