Como são vetores afinamente (in) dependentes em $\mathbb R^n$ arranjado no espaço?

Question

Considere um conjunto finito de vetores $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Este conjunto é linearmente independente se $\sum_k \alpha_k v_k=0$ implica $\alpha_k=0$. Geometricamente, entendo a dependência linear como a afirmação de que um conjunto de vetores está contido em um hiperplano que passa pela origem.

Por outro lado, dizemos que $\{v_i\}_i$são afinamente dependentes se$\sum_k \alpha_k v_k=0$ para $\alpha_k$nem tudo zero e tal que$\sum_k\alpha_k=0$. Existe uma intuição geométrica semelhante para visualizar quando um conjunto$\{v_i\}_i$ é afinamente dependente / independente?

Answer 1

Sua caracterização de (in) dependência linear não está totalmente correta. Cada conjunto de vetores está contido em algum tipo de hiperplano através da origem, ou seja, seu período.

Em vez disso, eu diria que um conjunto finito de vetores é linearmente dependente se eles estão em um hiperplano através da origem cuja dimensão é menor que o número de vetores no conjunto.

E em uma veia semelhante, um conjunto finito de pontos em $\mathbb R^n$é afinamente dependente se estiver em um hiperplano cuja dimensão seja menor que o número de pontos no conjunto menos 1 . Assim, 3 pontos diferentes em uma linha são dependentes por afinidade, mas 2 pontos diferentes em uma linha são independentes por afinidade.

Há outra bela imagem geométrica de independência afim:

• um par de pontos é afinamente independente se for o conjunto de pontos finais de um segmento de linha (o que ocorre se e somente se os dois pontos nesse par forem desiguais)
• um triplo de pontos é afinamente independente se for o conjunto de vértices de um triângulo
• um quádruplo de pontos é afinamente independente se for o conjunto de vértices de um tetraedro
• uma $k$-uplo de pontos é afinamente independente se for o conjunto de vértices de um $k-1$simplex dimensional .

Answer 2

Como @ runway44 diz, dependente de afinidade significa "eles estão todos em hiperplano", embora possivelmente um hiperplano que não contém a origem. Para ver isso rapidamente, pegue o$k+1$ vetores $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ com $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ e subtrair $v_0$ de cada um de $v_1, \ldots, v_k$ para obter $w_1, \ldots, w_k$.

Então os vetores $w_k$todos estão em um hiperplano paralelo através da origem. (Vale a pena fazer a álgebra para estabelecer isso sozinho).

Ou, para colocá-lo em uma forma mais clássica, se tomarmos $v_0$ como a origem de um novo sistema de coordenadas, então o restante $v_i$ todos os vetores estão em um hiperplano.