Compreendendo o enunciado e a prova do teorema de Bertini em Griffiths e Harris

Question

Estou tendo problemas para entender a afirmação e a prova do teorema de Bertini no livro de Griffiths & Harris (p.$137$). Francamente, não entendo uma palavra, mesmo depois de ler várias respostas na pilha. o teorema é

O elemento genérico de um sistema linear é suavizado a partir do lugar geométrico da base do sistema.

Primeira pergunta . A afirmação acima refere-se a fibrados lineares de linhas gerais em vez de apenas fibrados de linhas associados a divisores?

Tanto quanto posso dizer, refere-se a um sistema linear de fibrado de linhas associado a um divisor. Diga-me se estou errado.

Segunda pergunta . Qual é o elemento genérico? Ou qual é o lápis genérico?

Na prova, os autores começam com " Se o elemento genérico de um sistema linear é singular longe do lugar geométrico da base do sistema, então o mesmo será verdadeiro para um lápis genérico contido no sistema; assim basta provar Bertini para um lápis. "

Terceira pergunta . O que a frase acima significa exatamente?

Agora suponha$\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$é um lápis

Quarta pergunta . Por que os autores escrevem$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Fazer o que$f,g$significa aqui?

A última questão diz respeito ao grau de variedade (p.$171$).

Bertini aplicado ao locus liso de$V$o genérico$(n-k)$-avião$\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$vai se cruzar$V$transversalmente e assim se encontrará$V$exatamente$\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$pontos.

Última pergunta . o que é genérico$(n-k)$-avião? Neste caso, por que ele se cruza$V$transversalmente?

Answer 1

1. Em sua configuração (um manifold complexo), todos os feixes de linhas vêm de divisores e vice-versa.

2. Um elemento genérico de um sistema linear significa que no$\mathbb P^r$parametrizando membros desse sistema linear, consideramos algum subconjunto aberto denso de$\mathbb P^r$. Elementos genéricos são aqueles parametrizados por um ponto nesse aberto denso. Um lápis genérico similarmente parametrizado por um ponto em uma abertura densa do Grassmanniano$G(2,r+1)$do$2$subespaços dimensionais de$H^0(L)$(Onde$L$é o feixe de linhas).

3. A frase está dizendo que qualquer comportamento "ruim" ocorrerá em um lápis, então não precisamos nos preocupar com sistemas lineares de dimensão superior.

4. eles significam$f,g \in H^0(L)$, então tomando combinações lineares de$f$e$g$rende um lápis.

5. Um plano genérico é parametrizado por um subconjunto aberto denso do Grassmanniano apropriado. A transversalidade é porque a transversalidade é uma condição aberta.