Correspondência entre a álgebra do operador de vértice (VOA) do matemático e do físico

Question

Tenho algumas dúvidas conceituais para esclarecer, em termos de juntar o que aprendemos sobre uma álgebra de operadores de vértice (VOA) na teoria de campos conformes e como ela é definida por um matemático, digamos no livro de Kac . Em particular:

• Por causa da correspondência estado-campo, podemos igualmente pensar em$V$como um espaço de campos, ao invés de um espaço de estados?
• Se tiver-mos$a,b \in V$, e desejamos encontrar, digamos,$a_{-1}b$, na notação dos físicos, a que isso seria precisamente equivalente?
• Eu presumo um estado nulo$v \in V$é tal que para uma norma adequada$||v|| = 0$Contudo,$V$não é considerado um espaço normado nos axiomas de um VOA, então como um estado nulo é definido neste contexto?

Answer 1

• Sim.

• No caso da álgebra de Virasoro, temos a decomposição de modos$T(y)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{L_n}{(y-z)^{n+2}}$, assim$(L_{-1}T)(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_z dy\ T(y)T(z)$.

• Não há necessidade de uma norma para definir estados nulos. No caso da álgebra de Virasoro, um estado nulo é um estado que é morto pelos modos de aniquilação$L_{n>0}$, embora também seja um estado descendente.