Dê algum exemplo de topologia de quociente? [Fechado]

Question

Dê um exemplo fácil de topologia de quociente?

Minha tentativa : tenho alguns exemplos aqui, mas estou enfrentando dificuldades em entender o exemplo

Eu preciso de algum exemplo que seja fácil de entender

Eu sei a definição de

Topologia de quociente : deixe$X$ ser um espaço topológico e $~$ uma relação de equivalência em $X$. Para cada$x \in X$ , denotado por $[x]$ sua classe de equivalência. O espaço quociente de $X$ modulo $ \sim$ é dado pelo conjunto

$X/\sim~ =\{[x] : x \in X \}$

temos o mapa de projeção $p: X \to /\sim ,x \to [x]$ e nós igualamos $X/\sim$ pela topologia

$U\subseteq$ $X/ \sim~$ está aberto se e somente se $p^{-1}(u)$ é um subconjunto aberto de $X$

Answer 1

Aqui está um bom exemplo: Comece com o intervalo compacto $[0,1]$. "Identifique os pontos finais" para obter um círculo (topológico). Isso significa que sua relação de equivalência é$x \sim y$ se também $x=y$ se não $\{x,y\} = \{0,1\}$.

Outros comuns começam com um quadrado $[0,1] \times [0,1]$e identificar os limites de certas maneiras. Dependendo de como você identifica os pontos do limite, você pode obter uma esfera (topológica), um cilindro, uma banda de Möbius, um toro, uma garrafa de Klein ou outras coisas.