Definição de conectividade e sua intuição

Question

Dizemos um espaço topológico $X$a ser conectado se não puder ser escrito como uma união disjunta de dois subconjuntos abertos não vazios. Conectividade intuitiva significa que nosso espaço topológico é uma peça única. Não consigo ver como a definição acima captura a intuição. Por favor ajude.

Answer 1

Se claro algum espaço $X$ ter dois ou mais pontos pode ser escrito como $A \cup B$, com $A,B$disjuntos e não vazios, de muitas maneiras. Mas estar desconectado significa que há uma maneira de fazer isso de modo que nenhum ponto de$A$ é perto de" $B$ e nenhum ponto de $B$ é perto de" $A$. Estar próximo de é formalizado na topologia por estar no fechamento. Então ligue para um espaço$X$ desconectado quando podemos escrever como $A \cup B$, ambos os conjuntos não vazios e tais que $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (nenhum ponto de $B$ é perto de $A$) e $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (nenhum ponto de $A$ é perto de $B$) Mas isso implica que$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ então em particular $A=\overline{A}$ e $A$está fechado. Simetricamente,$B$ está fechado também, e como $A$ e $B$ são complementos uns dos outros, $A$ e $B$ estão abertos também (que você também pode ver a seguir, por exemplo, se $x \in A$ não eram um ponto interior de $A$, cada bairro de $x$ conteria não$A$ pontos, então pontos de $B$, Como $A\cup B=X$. E se cada bairro de$x$ cruza $B$, $x \in \overline{B}$, mas não assumimos nenhum ponto $x$ do $A$ estava perto de $B$...)

Portanto, estamos na definição da questão, chamando um espaço que não está desconectado nesse sentido de "conectado". Na verdade, é equivalente a pedir na definição de desconexão por partes simultaneamente abertas, partes simultaneamente fechadas ou partes "separadas" (como a primeira definição).

Answer 2

Se você cortar algum conjunto conectado em duas partes, no local do corte, uma das duas peças estará "aberta", enquanto a outra estará "fechada". Por exemplo, se você cortar a linha real em duas partes no ponto$a\in\mathbb R$, você receberá duas peças $(-\infty,a],(a,\infty)$, ou $(-\infty,a),[a,\infty)$. Pelo menos um deles tem um limite fechado em$a$. Os pontos pertencentes ao corte precisam ser incluídos em uma das duas peças, e essa peça terá o ponto de corte como ponto limite. Da mesma forma para espaços mais complicados: a linha ao longo da qual cortamos deve ser distribuída entre as duas peças, dando-lhes um limite, tornando-as não abertas.

Claro, não precisamos cortar ao longo de uma linha / plano / qualquer coisa, mas é o caso em que a intuição é mais imediatamente clara.