Desemaranhamento exponencial do operador numérico e operadores de criação e aniquilação
Existe uma maneira de separar o exponencial da soma do número, a aniquilação e o operador de criação? Por exemplo,
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
Onde $G$, $A$, e $B$ são cada função de possivelmente todos os três parâmetros $\alpha$, $\beta$, e $\gamma$.
Respostas
Não é uma resposta, mas um comentário extenso sobre sua abordagem basicamente sólida, uma vez que o formato do comentário não permite tais comentários extensos. O grupo envolvido é o grupo oscilador , e o 3d rep que você encontrou é fiel, então qualquer relação de grupo para ele também será válida para o grupo abstrato em geral, então, todas as representações ! Chamarei seu elemento central de C de sua resposta de Z , e ele pode filtrar todas as expressões, comutando com tudo.
A afirmação genérica apoiada pelo teorema de Lie é que o produto de todos os elementos do grupo se aproximará de uma exponencial de alguma combinação linear de todos os geradores na álgebra de Lie , então, então,$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$No entanto, como Z comuta com tudo, podemos inverter o primeiro fator do lhs para a direita e incorporá-lo em um novo parâmetro$\phi'-\theta=\phi$, de modo que $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ onde os parâmetros $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ são garantidamente funções de $G,A,B$.
Agora, pela nilpotência dos primeiros três geradores e na diagonal do quarto, o lado esquerdo avalia trivialmente como $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ com determinante $e^{A/2}$.
Isso deve ser igual $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ Seu determinante é $e^{\alpha/2}$ pela identidade $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.
Agora, para a segunda ordem em seus parâmetros, ele se expande para $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
Comparando com os ditames anteriores, para a segunda ordem, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ mas então você percebe que a entrada superior direita é incompatível e requer um não desaparecimento $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$para pegar a folga. Era preciso ir ao segundo pedido para ver isso, pois você precisa de pelo menos uma comutação$[a,a^\dagger]$ para produzir o elemento central.
Então, $\phi$é realmente essencial na sua expressão alterada (*): este não é um grau de liberdade que poderia ser omitido. Peço desculpas (com Pascal) por não ter tempo para encurtar o comentário.
Acho que encontrei um método usando as respostas a estas duas perguntas:
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
Como funciona o desemaranhamento e reordenação de operadores exponenciais?
Podemos mapear as seguintes matrizes para os operadores de escada:
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
As matrizes A, B, C, D satisfazem as relações de comutação dos operadores de escada. Em seguida, avalie o lado esquerdo e o lado direito usando essas matrizes e coeficientes de correspondência. Parece funcionar, mas gostaria de ter alguma confirmação de que essa é a abordagem certa, pois não tenho experiência com álgebras de mentira.