Dúvida sobre a prova da Iteração de Moser no livro de Gilbarg & Trudinger

Aug 17 2020

Eu estava lendo o Teorema 8.15 sobre a Iteração de Moser na monografia de Gilbarg e Trudinger. Compreendo todos os passos da prova apresentada, mas tenho as seguintes dúvidas que não puderam ser esclarecidas com uma leitura atenta.

  1. Os autores, como hipóteses para o teorema, exigem que $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ e $g\in L^{q/2}(\Omega)$ para alguns $q>n$ mas parece que eles não usaram esses fatos em nenhuma parte da prova: é assim e, se não, em quais etapas esses fatos são usados?

  2. O teorema falha para $q\le n$?

Por favor, ajude-me a entender completamente esta prova.

Aqui eu carreguei um instantâneo do teorema.

Equação 8.3

\ begin {equação} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {equação} .

Equação 8.30

\ begin {equation} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {equação}

Equação 8.32

\ begin {equation} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {equação}

Equação 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

Qualquer dica de ajuda será muito apreciada

Respostas

1 Slm2004 Aug 23 2020 at 22:30

definitivamente precisa da condição $f^i\in L^q(\Omega)$ e $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

  1. Durante a prova, é preciso escolher $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(equação acima (8.37)). Isso é possível se e somente se$q>\hat n$.

  2. O teorema em geral falha para $q\leq n$. Pode-se obter alguma pista do$W^{2,p}$estimativas de equações elípticas. Considere um caso especial,$f=0$ e $Lu=g$ com $u=0$na fronteira. o$W^{2,p}$ diz aproximadamente $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Lembre-se do teorema de incorporação de Sobolev, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ E se $q>n$, embora isso não seja verdade quando $q\leq n$.

Para um contra-exemplo, pode-se apenas pegar um elemento $g\in W^{2,n/2}$ mas não em $g\not\in L^\infty(\Omega)$. Então$$\Delta u=\Delta g$$ tem uma solução $u$ enquanto (8.34) não pode ser verdade.