É cada sequencialmente $\sigma(E',E)$- funcional linear contínua em um espaço de Banach duplo $E'$ necessariamente uma avaliação pontual?

Question

$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$Uma dualidade entre dois espaços vetoriais$E$ e $F$ sobre $\bf K$ ($= {\bf R}$ de ${\bf C}$) é, por definição, uma forma bilinear $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ tal que, se $\langle x, y\rangle =0$ para cada $x$ dentro $E$, então $y=0$. E vice versa.

Dada uma dualidade como acima, define-se a topologia fraca em$F$, geralmente denotado $\sigma (F,E)$, para ser a topologia mais grosseira de acordo com a qual os funcionais lineares $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ são contínuos para todos $x$ dentro $E$.

É um fato clássico que todo $\sigma (F,E)$-contínuo linear funcional $\varphi :F\to \bf K$, pode ser representado por um vetor em$E$ no sentido de que existe um (necessariamente único) $x$ dentro $E$ de tal modo que $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$

Portanto, pode-se perguntar:

Pergunta . O acima ainda é válido se a continuidade for substituída por continuidade sequencial ? Em outras palavras, deve cada sequencialmente$\sigma (F, E)$-contínuo linear funcional em $F$ ser representado por um vetor em $E$.

Antes que o leitor salte para a tarefa de prová-lo ou refutá-lo, deixe-me dizer que infelizmente a resposta é negativa, um contra-exemplo sendo apresentado a seguir.

Deixe-me especializar um pouco, restringindo à situação em que $E$ é um espaço de Banach e $F$ é o seu dual topológico, com a dualidade canônica $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$

Para ser mais preciso:

Pergunta . Deixar$E$ seja um espaço de Banach e deixe $\varphi $ ser um funcional linear em $E'$ que é sequencialmente $\sigma (E',E)$-contínuo. É$\varphi $ necessariamente representado por um vetor em $E$?

Isso é obviamente verdade se $E$ é reflexivo e acho que também posso provar isso para $E=c_0$, bem como para $E=\ell ^1$.

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UM CONTADOR EXEMPLO

Deixar $E=\sc F(H)$ ser o conjunto de todos os operadores de classificação finita no espaço de Hilbert, e $F=\sc B(H)$, com dualidade definida por meio do traço, a saber $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$

Nesse caso $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ acaba sendo a topologia do operador fraco (WOT), que coincide com a topologia do operador fraco do sigma ($\sigma $-WOT) em subconjuntos limitados de $\sc B(H)$.

Uma vez que as sequências convergentes de WOT são limitadas por Banach-Steinhauss, temos que as sequências convergentes de WOT são iguais às $\sigma $-WOT convergentes. Conclui-se que todo$\sigma $-WOT-funcional linear contínuo em $\sc B(H)$também é WOT-contínuo. Resumindo uma longa história, para cada operador de classe de rastreamento$S$ sobre $H$ de classificação infinita, o funcional linear $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ é sequencialmente WOT-contínuo, mas não é representado por um operador em $\sc F(H)$.

Answer 1

Mikael de la Salle aponta que isso é verdade quando $E$é separável, como mostrado no Corolário V.12.8 de Conway, A Course in Functional Analysis, 2e .

Para um contra-exemplo não separável, considere o espaço ordinal incontável $[0, \omega_1]$, que é Hausdorff compacto, e $E = C([0, \omega_1])$. Pelo teorema da representação de Riesz,$E'$ é o espaço de medidas de Radon assinadas $\mu$ sobre $[0, \omega_1]$com sua norma de variação total. Deixar$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$. Isso claramente não é representado por nenhum vetor em$E$ desde a função $1_{\{\omega_1\}}$ não é contínuo, mas eu afirmo $\varphi$ é sequencialmente $\sigma(E', E)$ contínuo.

Deixar $\mu_n$ seja uma sequência convergindo para 0 em $\sigma(E', E)$ e consertar $\epsilon > 0$. Desde cada$\mu_n$ é Radon, então é sua medida de variação total $|\mu_n|$, e assim podemos aproximar $\{\omega_1\}$ dentro $|\mu_n|$-medida de fora por conjuntos abertos. Então existe$\alpha_n < \omega_1$ de tal modo que $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$. Deixar$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; então$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ para cada $n$.

Definir $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ de $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ e observe que $f$é contínuo. Agora$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$

Mas por suposição $\int f\,d\mu_n \to 0$, e $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$, então concluímos $\varphi(\mu_n) \to 0$.