E se $\{a_n\}$ é uma sequência positiva e $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, então mostre que $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.

Question

Deixei $a_n$ ser uma sequência positiva.

Nós definimos $b_n$ como segue:

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

Pergunta: Prove que$\lim b_n=\infty$.

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Minha solução sugerida: Consegui provar o contrário (que o limite não é infinito), você pode me mostrar o que fiz de errado?

eu peguei $a_n$ como segue: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ Então $b_n$ é: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ Os primeiros elementos, exceto o último, são a soma de uma progressão geométrica que converge para $2$ quando $n$ fica muito grande, então o limite geral é $2+a_n$ que não é infinito com certeza ...

Answer 1

Em seu contra-exemplo, algo não funciona; na verdade, você está assumindo

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

e portanto

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

Para provar isso $b_n \to \infty$, por AM-GM temos que

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

em seguida, conclua pelo teorema de compressão.

Answer 2

Nós podemos escrever

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ onde o $c_k$ são números positivos.

O valor mínimo de $b_n$ é encontrado cancelando o gradiente,

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ ou $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

A solução é $p=c_k=1$ e $b_n=n$ é a menor soma possível, conforme encontrado independentemente por @user.