É sempre possível particionar $[a,b]\times[c,d]$ em blocos separados $D_{ij}$ st $\left.f\right|_{D_{ij}}$ é bijetivo?
Considere a função dada por $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ de tal modo que $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$.
Além disso, também temos $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ e é sobrejetora.
Minha pergunta
É sempre possível particionar $[a,b]\times[c,d]$ em blocos separados $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, Onde $1\leq i \leq m$ e $1\leq j\leq n$, de tal modo que $\left.f\right|_{D_{ij}}$ é bijetivo?
Se sim, existe um número mínimo de blocos $D_{ij}$ que satisfaçam esta restrição?
Aqui eu assumo a função $f$ não é constante em qualquer lugar e $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ para cada $(x,y)\in[0,1]^{2}$.
Essa questão não é tarefa de casa. Surgiu de minha pesquisa pessoal.
Se esta pergunta não for adequada a este site, por favor me avise.
EDITAR
A questão de acompanhamento é abordada aqui .
Respostas
A resposta é não.
Por exemplo, deixe $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ e $$f(x,y):=(g(x),y)$$ para $(x,y)\in[0,1]^2$, Onde $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ para $x\in(0,1]$ com $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ e $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$. Então$f$ é uma sobrejetiva $C^1$ mapa de $[0,1]^2$ para $[0,1]^2$.
Além disso, para qualquer $(x,y)\in[0,1]^2$, qualquer $u\in(0,1]$, e qualquer $v\in[0,1]$ a igualdade $f(x,y)=(u,v)$ implica $y=v$ e $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ e, portanto $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ de modo a $\ln x$ varia em no máximo $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ uniformemente em $u\in(0,1]$.
Além disso, $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ para algum real $t$ (dependendo apenas de $p$ e $a$) e tudo $x\in(0,1]$.
Então, dada a condição (1), $g'(x)$ pode mudar o sinal não mais do que $n$ vezes, para algum natural $n$ dependendo apenas de $p$ e $a$. Portanto,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ para qualquer $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$. Além disso,$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ para qualquer $v\in[0,1]$. Então,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ para qualquer $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$.
Por outro lado, segue de (2) e (0) que $g'$ muda o sinal infinitamente muitas vezes em qualquer vizinhança certa de $0$. Portanto, a restrição de$f$ a qualquer retângulo com um vértice em $(0,0)$ não é bijetivo.
Para ilustração, abaixo estão os gráficos $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (esquerda) e $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (certo para $p=3/2$ e $a=9/10$. Esses gráficos são redimensionados não linearmente (horizontalmente e verticalmente, para melhor percepção) versões de um gráfico da função$h$ em um bairro certo de $0$.
