Encontrando a Vizinhança Prescrita em um Manifold

Question

Dada uma variedade suave, prove que para um conjunto aberto$U\subset M$podemos sempre encontrar um conjunto fechado$\bar{B}\subset U$de tal modo que$B$é uma vizinhança de algum ponto$p\in U$.

Minha tentativa: desde$M$tem base em bolas regulares, existe$B\subset U$que é bola normal, então existe outra$B'$de tal modo que$\bar{B}\subset B'$. Mas como mostrar que está contido em$U$?

Answer 1

Escolher$p\in U$e escolha uma bola coordenada$V\ni p$com$V\subseteq U$. Podemos escolher esta bola de modo que haja um difeomorfismo$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.Em seguida, defina$W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, e então observe que$\overline{W}\subseteq U$e essa$W$é um bairro de$p$.

Nota: a primeira escolha de$V$é possível porque existe uma base por conjuntos abertos de coordenadas.