Encontrar o traço de um sistema explicitamente
Considere que estamos trabalhando com um sistema conjunto composto pelo sistema A com base $|\alpha_j\rangle$ e sistema B com base $|\beta_j\rangle$.
Em minhas notas, o operador de densidade é indicado da seguinte forma:
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
pelo qual minhas notas afirmam que $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
Eles também afirmam as seguintes equações para o traço de A e o traço de B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
Minha principal pergunta é como alguém escreveria $\rho_{j,l,k,l}$ e $\rho_{j,l,j,m}$ explicitamente, pois o que recebo não parece concordar com um exemplo trabalhado em meu livro e, portanto, estou bastante confuso.
obrigado
Respostas
Bem, porque se eu fosse fazer isso, eu escreveria da seguinte forma: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ No entanto, não tenho certeza porque os exemplos trabalhados que vi sugerem o seguinte $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.
Parece que você está entendendo mal a ideia de um produto tensorial de estados, então vou revisar isso brevemente. Deixei$\mathcal H_A$ e $\mathcal H_B$ ser espaços de Hilbert, e deixar $\alpha \in \mathcal H_A$ e $\beta \in \mathcal H_B$. O produto tensorial de$\alpha$ e $\beta$ é o par ordenado $(\alpha,\beta)$ que tem as seguintes propriedades:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ para todos $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ para todos $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ para todos $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
Em vez de escrever $(\alpha,\beta)$ para o produto tensorial, é notação padrão escrever $\alpha \otimes \beta$.
O produto tensorial dos espaços de Hilbert $\mathcal H_A$ e $\mathcal H_B$ é o espaço de todos os produtos tensores da forma $\alpha\otimes \beta$ com $\alpha\in\mathcal H_A$ e $\beta \in \mathcal H_B$, e todas as suas combinações lineares . O produto interno neste espaço é considerado
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
Portanto, um elemento $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ pode parecer
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
É claro a partir da definição que $\alpha$ e $\gamma$ pertence a $\mathcal H_A$ enquanto $\beta$ e $\delta$ pertence a $\mathcal H_B$. Novamente por convenção padrão, reutilizamos o símbolo$\otimes$ e denotam o produto tensorial dos espaços de Hilbert por $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.
Se você gostaria de trabalhar com a notação de Dirac, você pode escrever algo como $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. O sutiã correspondente seria$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Se deixarmos$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, então
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
A convenção é que se você está falando sobre um sutiã ou um ket, a primeira quantidade no produto tensorial pertence $\mathcal H_A$ (ou seu espaço dual) e o segundo pertence a $\mathcal H_B$ (ou seu espaço dual).
Com tudo isso dito, sua expressão
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
não faz sentido para mim, porque o produto tensorial ket à direita está na ordem errada.
Em primeiro lugar, deve-se notar que a maneira como você entende $\rho_{ijk\ell}$é antes de tudo uma questão de convenção. Dito isso, algumas convenções são certamente mais "naturais" do que outras.
Uma maneira de pensar sobre isso é que os componentes da matriz de $\rho$ em um espaço composto $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$nada mais são do que isso: componentes da matriz em algum espaço. Se você usar os índices$I,J$ para rotular os elementos de uma base de $\mathcal H$, você pode escrever os componentes da matriz como $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ No entanto, esta notação não leva em consideração a estrutura bipartida de $\mathcal H$. Para fazer isso, observamos que sempre podemos encontrar uma base de$\mathcal H$ que é construído a partir de bases de $\mathcal X$ e $\mathcal Y$. Podemos, portanto, rotular os elementos básicos de$\mathcal H$usando dois índices, denotando os elementos de base correspondentes de$\mathcal X$ e $\mathcal Y$. Em outras palavras, podemos escrever$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Então, em vez de um índice $I$, usamos um par de índices, digamos $(i,j)$. Os elementos da matriz de$\rho$ então se torne $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$onde estou incluindo diferentes maneiras equivalentes de escrever a expressão. Observe que escrevi os índices de "entrada" e "saída" de$\rho$ usando pares $(i,j)$ e $(k,\ell)$aqui, para enfatizar os diferentes papéis que os índices têm. Para resumir, geralmente não se faz isso e simplesmente escreve$\rho_{ijk\ell}$ significar $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.
Agora, você também pode decidir usar $\rho_{ijk\ell}$ para significar algo como $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Isso seria uma notação bastante estranha.