Encontre a média do número $n \sin n^\circ$ para $n=2,4,6\cdots,180$ [duplicado]

Question

Em um exame, fui solicitado a encontrar a média do número: $$n \sin n^\circ$$ para $n$=$2,4,6,\cdots,180$

Já tentei bastante basicamente com sum product, ou emparelhamento de insumos ... mas no final não consegui achar nenhuma maneira de resolver, alguém pode me ajudar com a abordagem?

Answer 1

Desde a $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, $\sin{90^\circ} = 1$, e $\sin{180^\circ} = 0$, podemos escrever a soma como $$ (2 \sin{2^\circ} + 178 \sin{2^\circ}) + (4 \sin{4^\circ} + 176 \sin{4^\circ}) + \ldots + (88 \sin{88^\circ} + 92 \sin{88^\circ}) + 90\text. $$

Para obter a média, divida pelo número de termos, $90$, e pegue $$ 2 \sin{2^\circ} + 2 \sin{4^\circ} + \ldots + 2 \sin{88^\circ} + 1\text.\tag{*} $$

Agora, $\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ) = 2 \sin\theta \sin 1^\circ$. Portanto,$$ 2\sin\theta = \frac{\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ)}{\sin{1^\circ}}\text.\tag{**} $$

Quando você liga $\text{(**)}$ para dentro $\text{(*)}$, a maioria dos $\cos$ termos cancelados e você fica com $$ \frac{\cos{1^\circ} - \cos{89^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \frac{\cos{1^\circ} - \sin{1^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \color{red}{\cot{1^\circ}}\text. $$

Answer 2

\begin{align} \sum_{r=1}^{90}2r\sin\left(\dfrac{2r\pi}{180}\right)&=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+2\sum_{r=1}^{45}(90-r)\sin\left(\pi-\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+180\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)-2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=180\times\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right) \end{align} Agora aplique a soma do seno da fórmula AP e pronto!