Equação de Inviscid Burgers: desenhando o choque [duplicar]

Question

Resolva a equação de Burgers $$ \left\{\begin{aligned} u_{t}+uu_x &=0 \quad \text { for } \quad t>0 \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \end{aligned}\right. $$ com $u=u(x,t)$ e a condição lateral $u(x,0)=-x$.

Estou ciente de que uma pergunta semelhante com a condição inicial u = x já foi feita antes, e perguntou isso porque eu estava me perguntando qual seria a diferença quando as linhas características são definidas para convergir.

Answer 1

Do teorema da função implícita, temos o seguinte

$$u_t+uu_x = 0 \implies \frac{dx}{dt}=u$$

Em outras palavras, as inclinações das características dependem do valor de $u$. Com$u=x$, você pode ver que as características que começam em negativo $x$ mover para a esquerda (inclinação negativa) e vice-versa para positivo $x$. Você poderia explicar o comportamento para$u=-x$ em vez de?

Questão bônus, tecnicamente o choque em ambas as situações poderia ser qualquer coisa, mas como alguém escolhe a solução de entropia máxima para ambos $u=x$ e $u=-x$ ?