Estado de dois qubit + canal de despolarização = estado da diagonal de sino?

Question

Em fontes múltiplas, por exemplo, RGK , KGR , é afirmado (sem prova) que se você pegar qualquer estado de dois qubit e enviá-lo através de um canal de despolarização, o estado resultante seria um estado diagonal de Bell . Eu entendo que um estado diagonal de Bell bipartido$\rho_{AB}$ tem a forma:

$$ \rho_{AB} = \lambda_1 |\Psi^+\rangle\langle \Psi^+| + \lambda_2 |\Psi^-\rangle\langle \Psi^-| +\lambda_3 |\Phi^+\rangle\langle \Phi^+| +\lambda_4 |\Phi^-\rangle\langle \Phi^-|, $$ Onde $|\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle, |\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle$são os estados de Bell usuais. A ação de um canal despolarizante$\mathcal{E}$ em dois qubits é definido como:

$$ \mathcal{E}(\rho_{AB}) = \sum_i (E_i \otimes E_i) \rho_{AB} (E_i \otimes E_i)^\dagger, $$ Onde $E_i \in \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$são os operadores Pauli. No entanto, não vejo por que QUALQUER operador de densidade bipartido seria transformado em um estado diagonal de Bell. Existe alguma prova desta afirmação?

Answer 1

Em primeiro lugar, observe que cada estado de Bell $|\psi_{ij}\rangle=(|0i\rangle+(-1)^j|1\bar i\rangle)/\sqrt{2}$ é um estado próprio de $E_i\otimes E_i$ para todos $i$ (os valores próprios são $\pm 1$) Conseqüentemente, um estado diagonal de Bell permanece sob a ação do mapa. Isso já sugere que um estado diagonal de Bell provavelmente será o destino final do mapa, mas deixe-nos provar isso.

Considere um estado arbitrário $|\Psi\rangle$. Isso pode ser decomposto na base de Bell,$$ |\Psi\rangle=\sum_{i,j}a_{ij}|\psi_{ij}\rangle. $$ Nós temos $XX|\psi_{i1}\rangle=-|\psi_{i,1}\rangle$ e $XX|\psi_{i0}\rangle=|\psi_{i,0}\rangle$. Então, por exemplo, se eu calcular$$ |\Psi\rangle\langle\Psi|+XX|\Psi\rangle\langle\Psi|XX, $$ então isso elimina quaisquer termos cruzados, como $|\psi_{i0}\rangle\langle\psi_{j1}|$

De forma similar, $ZZ|\psi_{0i}\rangle=|\psi_{0,i}\rangle$ e $ZZ|\psi_{1i}\rangle=-|\psi_{1i}\rangle$, então termos como $|\psi_{0i}\rangle\langle\psi_{1j}|$também será eliminado. Em última análise, os únicos termos restantes são$|\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|$, ou seja, o estado é diagonal de Bell.

Estritamente, para colocar tudo isso junto com cuidado, você quer dizer $$ \rho_x=\rho+XX\rho XX $$ e $$ \mathcal{E}(\rho)=\rho_x+ZZ\rho_xZZ $$ dois veem como as duas etapas separadas que fiz se encaixam.